ALGEBRA

Тогда матрица этого оператора в выбранных базисах имеет вид:

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Пример 139. Пусть (e¯1, e¯2, . . . , e¯n) базис пространства Ln и L : Ln → R линейная форма.

Обозначим L(e¯k) через lk, k = 1, 2, . . . , n, – коэффициенты линейной формы. Легко видеть,

что матрица линейной формы имеет вид:

(l1, l2, . . . , ln) M1n(R).

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Пример 140. Фиксируем в линейном пространстве R3 канонический базис. Линейный оператор проектирования на подпространство с каноническим базисом опре-

T деляется следующим условием:

Px¯ = (x1, 0, 0), где x¯ = (x1, x2, x3) R3.

Запишите матрицу линейного оператора P в канонических базисах.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Пример 141. Фиксируем в линейных пространствах R и R3 канонические базисы. Линейный оператор

T

A : R → R3

действует по закону:

Ax¯ = (4x1, x1, x1), где x¯ = (x1) R.

Запишите матрицу линейного оператора A в канонических базисах.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Пример 142. Фиксируем в линейном про-

действует по закону:

A~x = [ ~c, ~x ], ~x V3, где ~c = (−1, 9, −4).

Запишите матрицу линейного оператора A в декартовом базисе пространства V3.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

7.3.Линейное пространство операторов

Зафиксируем два линейных пространства Ln и Lm и рассмотрим множество On,m линейных операторов действующих из Ln в Lm.

На множестве On,m можно ввести линейную структуру, превратив тем самым On,m в линейное пространство.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Определение 81. Отображение C называется

суммой отображений A и B, действующих из Ln в Lm, если выполняется равенство

C(x¯) = A(x¯) + B(x¯)

для всех векторов x¯ Ln. Сумму отображений обозначают символом C := A + B.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Определение 82. Отображение C называется

произведением отображения A, действующего из Ln в Lm, на число λ R, если выполняется равенство

C(x¯) = λ · A(x¯)

для всех векторов x¯ Ln. Это произведение обозначают символом C := λA.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Пусть A, B On,m и λ R.

Покажем, что A + B, λ · A On,m, т.е. являются линейными операторами. Действительно, α, β R и x,¯ y¯ Ln имеем

= α(A + B)(x¯) + β(A + B)(y¯)

и

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

= α(λ · A)(x¯) + β(λ · A)(y¯)

Итак, результат применения введённых операций над линейными операторами есть снова линейный оператор.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit