ALGEBRA

Так как A линейный оператор, то имеем

и

(7.6)

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

В силу единственности разложения вектора по базису (см. теорему 4), из (7.5) и (7.6) получаем,

или в матричной форме записи

(y1, y2, . . . , ym)T(f¯) = Af¯e¯ · (x1, x2, . . . , xn)T(e¯).

(7.7)

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Пусть A = (akj ) Mmn (R) – произвольная матрица.

Определим линейный оператор A : Ln → Lm. В силу теоремы 67, для этого достаточно задать образы всех базисных векторов. Поло-

Легко видеть, что матрицей, определённого так оператора, является матрица A.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Итак, каждая матрица A = (akj ) Mmn (R)

является матрицей некоторого оператора A, действующего из Ln в Lm, с фиксирован-

ными базисами (e¯) = (e¯1, e¯2, . . . , e¯n) в Ln и

(f¯) = (f¯1, f¯2, . . . , f¯m) в Lm.

Таким образом, между линейными операторами, действующими из линейного пространства Ln (с фиксированным базисом (e¯)) в линейное пространство Lm (с фиксированным ба-

зисом (f¯)), и матрицами A = (akj ) Mmn (R)

устанавливается взаимно однозначное соответствие, осуществляемое с помощью формул (7.8).

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Примеры матриц линейного оператора.

Пример 134. Матрица нулевого оператора в любом базисе пространства Ln и любом базисе пространства Lm, очевидно, состоит из одних нулей.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Пример 135. Матрица тождественного опера-

тора в базисе (e¯) = (e¯1, e¯2, . . . , e¯n) пространства Ln, как области определения, и в том же

базисе (e¯) пространства Ln, как области значений, есть единичная матрица

E = (δjk) Mnn(R).

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Пример 136. Матрица оператора подобия, задаваемого формулой

x¯ A λx,¯

→

где λ R фиксировано, в базисе (e¯) = (e¯1, e¯2, . . . , e¯n) пространства Ln, как области определения, и в том же базисе (e¯) простран-

ства Ln, как области значений, есть матрица

A = (λ · δjk) Mnn(R).

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Пример 137. Пусть (e¯1, e¯2, . . . , e¯n) базис в Ln и m N, m < n, фиксированы. Определим отображение

P : Ln → Ln

следующими условиями:

Покажите, что определённое так отображение является линейным оператором. Этот линейный оператор называется оператором проектирования на подпространство с базисом

(e¯1, e¯2, . . . , e¯m).

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Очевидно, матрица оператора P имеет вид:

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Пример 138. Рассмотрим, оператор дифференцирования

d

dt : P≤n → P≤n−1.

(см. пример 132). В пространствах P≤n и P≤n−1 выберем базисы из степеней t:

(t0, t1, t2, . . . , tn−1)

базис в P≤n и

(t0, t1, t2, . . . , tn−2)

базис в P≤n−1 (см. задачи 23, 29).

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit