Покажем, что A : Ln→L линейный оператор.
Фиксируем произвольные x¯ = x1e¯1+x2e¯2+· · ·+ xne¯n, y¯ = y1e¯1 + y2e¯2 + · · ·+ yne¯n Ln, α, β R.
Тогда
|
|
|
(7.3) |
n |
(αxk + βyk)f¯k = |
A(αx¯ + βy¯) |
= |
X |
|
|
|
|
k=1 |
(7.3) |
|
|
n |
xkf¯k + β |
n |
|
= α |
X |
X |
ykf¯k = |
αA(x¯) + βA(y¯), |
|
k=1 |
|
|
k=1 |
|
|
т.е. A – линейный оператор.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
По определению отображения
A(e¯k) |
(7.3) |
|
n |
δki f¯i |
= |
|
X |
|
|
i=1 |
|
|
|
i |
|
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где δ |
k |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,
= f¯k, k = 1, n,
если i 6= k; если i = k.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Eдинственность. Пусть
B : Ln → L
линейный оператор такой, что
B(e¯k) = f¯k, k = 1, 2, . . . , n.
Тогда x¯ = x1e¯1 + x2e¯2 + · · ·+ xne¯n Ln имеем:
|
|
Опр.79 |
B(x¯) = B(x1e¯1 + x2e¯2 + · · · + xne¯n) = |
= x1B(e¯1) + x2B(e¯2) + · · · + xnB(e¯n) = |
n |
(7.3) |
|
= X xkf¯k |
= |
A(x¯). |
k=1 |
|
|
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Пример 133. Найти общий вид линейной фор-
мы
L : Ln → R.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Решение. Пусть (e¯1, e¯2, . . . , e¯n) базис в Ln. Обозначим число L(e¯k) через lk, k = 1, n. Тогда x¯ = x1e¯1 + x2e¯2 + · · ·+ xne¯n Ln имеем:
n |
xke¯k |
|
Опр.79 |
n |
xkL(e¯k) = |
|
L(x¯) = L X |
|
= |
X |
|
k=1 |
|
|
|
k=1 |
|
n |
|
|
|
|
|
n |
xklk = |
lkxk, |
|
|
|
= |
X |
X |
|
|
|
|
k=1 |
|
k=1 |
|
т.е. значения линейной формы L(x¯) линейно выражаются через координаты вектора x¯ с фиксированными коэффициентами
l1, l2, . . . , ln. Числа l1, l2, . . . , ln называются коэффициентами линейной формы.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Соглашение. Eсли A : L → L линейный
оператор, то образ любого x¯ L будем обозначать Ax¯ L .
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
7.2.Матрица линейного оператора
Пусть A линейный оператор, действующий из линейного пространства Ln в линейное пространство Lm. Фиксируем базис
(e¯) = (e¯1, e¯2, . . . , e¯n)
в пространстве Ln и в пространстве Lm базис
(f¯) = (f¯1, f¯2, . . . , f¯m).
Вектор e¯1 переводится оператором A в вектор Ae¯1 Lm, который, как всякий вектор этого линейного пространства, можно разложить по базисным векторам:
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Ae¯1 = a11 f¯1 + a21 f¯2 + · · · + am1 f¯m.
Аналогично
Ae¯2 = a12 f¯1 + a22 f¯2 + · · · + am2 f¯m.
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
Ae¯n = a1n f¯1 + a2n f¯2 + · · · + amn f¯m.
Коэффициенты aik этих соотношений определяют матрицу Af¯e¯ Mmn (R):
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
|
|
|
a1 |
a1 |
· · · |
a1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
a |
2 |
a |
2 |
|
|
a |
2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
· · · |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A ¯ |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
(7.4) |
fe¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
.. . |
|
|
|
|
|
. . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
a |
m |
|
|
a |
m |
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
· · · |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
которая называется матрицей оператора A
в выбранных базисах. Столбцами матрицы оператора A служат координаты векто-
ров Ae¯1, Ae¯2, . . . , Ae¯n относительно базиса
(f¯1, f¯2, . . . , f¯m).
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Пусть
|
n |
xke¯k = (x1, x2, . . . , xn)(¯Te) |
x¯ = |
X |
|
k=1 |
|
произвольный вектор из Ln и его образ |
|
|
m |
y¯ = Ax¯ |
= |
X yj f¯j = (y1, y2, . . . , ym)(Tf¯). |
|
|
j=1 |
Выясним, как связаны координаты векторов x¯
и y¯.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
