7.1.Определение и примеры линейных
операторов
Пусть заданы два линейных пространства L и L .
Определение 79. Линейным оператором, действующим из L в L , называется отображение A пространства L в L , обладающее свойством:
A(αx¯ + βy¯) = αA(x¯) + βA(y¯), α, β R
и x,¯ y¯ L.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Определение 80. Линейный оператор L : L→R называется линейной формой. Eсли L бесконечномерное пространство, то линейную форму L : L→R, обычно называют линейным функционалом.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Примеры линейных операторов.
Пример 128. Пусть L и L произвольные линейные пространства. Отображение A зададим следующим образом:
x¯ L A(x¯) |
Опр. |
(7.1) |
= 0¯ L . |
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Покажем, что определённое в (7.1) отображение, есть линейный оператор. Действительно,α, β R и x,¯ y¯ L имеем:
A(αx¯ + βy¯) |
Опр. ¯ |
и |
= 0 |
αA(x¯) + βA(y¯) |
Опр. ¯ |
¯ |
¯ |
= α0 + β0 = 0, |
т.е.
A(αx¯ + βy¯) = αA(x¯) + βA(y¯).
Этот оператор называется нулевым.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Пример 129. Пусть L произвольное линейное пространство. Поставим в соответствие каждому вектору x¯ L этот же вектор x¯ L.
Очевидно, что определённое так отображение, есть линейный оператор, действующий из L в L. Этот оператор называется тождественным или единичным и обозначается E. По определению x¯ = E(x¯), x¯ L.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Пример 130. Зафиксируем произвольное число β R и каждому вектору x¯ L поставим в соответствие вектор βx¯ L.
Построенное таким образом отображение будет, очевидно, линейным оператором. Он называется оператором подобия.
При β = 0 мы получаем нулевой оператор, при β = 1 – единичный.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Пример 131. Зафиксируем геометрический вектор ~x0 V3. Отображение A пространства V3 в R определим формулой:
|
A(~x) = (~x, ~x0) R, |
(7.2) |
где (~x, ~x0) – скалярное произведение. Тогда |
A(α~x + β~y) |
(7.2) |
(α~x + β~y, ~x0) |
Ò.22 |
|
|
= |
= |
|
|
|
|
Ò.23 |
|
|
(7.2) |
= (α~x, ~x0) + (β~y, ~x0) = α(~x, ~x0) + β(~y, ~x0) |
= |
= αA(~x) + βA(~y), α, β R и ~x, ~y V3.
Итак, A линейный оператор.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Пример 132. Определим отображение dtd линейного пространства P≤n в P≤n−1 (см. пример 12) следующим образом: каждому многочлену из P≤n сопоставим его производную из P≤n−1. Это отображение является линейным оператором так как:
dtd [αϕ(t) + βφ(t)] = dtd [αϕ(t)] + dtd [βφ(t)] = = αdtd [ϕ(t)] + βdtd [φ(t)] .
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Теорема 67. Пусть задано линейное про-
странство Ln и (e¯1, e¯2, . . . , e¯n) базис в нём. Пусть, далее, задано линейное про-
странство L и произвольные n векторов f¯1, f¯2, . . . , f¯n L . Тогда существует единственный линейный оператор A, действующий из Ln в L , такой, что
A(e¯k) = f¯k, k = 1, 2, . . . , n.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Доказательство. Существование. Определим отображение A из Ln в L формулой:
x¯ = x1e¯1 + x2e¯2 + · · · + xne¯n Ln
положим
|
n |
xkf¯k |
|
L . |
(7.3) |
A(x¯) = |
X |
|
|
k=1 |
|
|
|
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
