Теорема 66. Пусть A = (aik) Mnn(R) с det(A) 6= 0 и A−1 = (bik) матрица обратная
матрице A. Тогда
A−1 · A = A · A−1 = E.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Доказательство. Пусть A−1 · A = C, где C = (cik) Mnn(R). Тогда
i |
n |
i j Ò.65 |
n |
Aj |
j |
|
1 n |
j j |
ck = |
X |
bjak = |
X |
i |
ak |
= |
|
X |
akAi . |
|
|
|
j=1 |
|
j=1 det(A) |
|
|
det(A) j=1 |
|
Но сумма произведений элементов какого-либо столбца матрицы на алгебраические дополнения, соответствующие элементам другого столбца, равна нулю (см. теорему 52), а сумма произведений элементов какого-либо столбца матрицы на алгебраические дополнения элементов того же столбца равна определителю матрицы (см. теорему 51).
Поэтому
|
i |
|
0, |
если |
i = k |
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
= |
|
|
i, k = |
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
если |
|
|
|
|
|
|
|
1, |
i = k, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и, следовательно, A−1 · A = E = A · A−1.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
6.1.Решение матричных уравнений
Понятие “обратная матрица” может быть использовано для решения матричных уравне-
ний.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Пусть задано уравнение A · X = B, где A
Mnn(R) с det(A) 6= 0, B, X Mnk(R). Матрицы
À и B – заданы, а X – искомая матрица. Тогда вычисляем матрицу A−1 и умножаем левую и
правую части заданного уравнения слева на
A−1:
A−1(AX) = A−1B.
Так как
−1 −1 Ò.66 −1
A (AX) = (A A)X = EX = X = A B,
то
X = A−1B.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Покажем, что матрица A−1B есть решение уравнения AX = B. Действительно,
Опр.78 |
EB = B. |
A(A−1B) = (AA−1)B = |
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Пусть задано уравнение XA = B, где A
Mnn(R) с det(A) 6= 0, B, X Mkn(R). Матрицы
À и B – заданы, а X – искомая матрица. Тогда вычисляем матрицу A−1 и умножаем левую и
правую части заданного уравнения справа на
A−1:
(XA)A−1 = BA−1.
Так как
(XA)A−1 |
Опр.78 |
XE = X = BA−1, |
= X(AA−1) = |
то
X = BA−1.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Покажем, что матрица BA−1 есть решение уравнения XA = B. Действительно,
−1 −1 Ò.66
(BA )A = B(A A) = BE = B.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Пример 127. Решить систему линейных уравнений
|
2x + y |
|
= 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
+ 3z = 16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5y |
|
z = 10 |
|
− |
|
|
|
матричным способом.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Решение. Запишем систему в матричной форме:
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
16 |
|
или A |
|
x¯ |
= ¯b. |
|
|
· |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найдём матрицу A−1. Для этого составим матрицу C = (E|A).
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
1 0 0 |
|
2 1 0 |
|
|
1 0 0 |
|
|
2 1 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 1 0 |
|
1 0 3 |
|
|
|
0 1 0 |
|
|
1 0 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 0 1 |
|
|
10 0 |
|
1 |
0 0 1 |
|
0 5 1 |
|
− |
|
− |
− |
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) Заменить третью строку суммой третьей строки и первой строки, умноженной на (−5).
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
