Итак, матрица A−1, обратная матрице A, имеет вид:
|
|
|
|
|
|
|
|
A1 |
A2 |
· · · |
An |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
A |
1 |
A |
2 |
|
|
A |
n |
|
1 |
|
v |
T |
|
2 |
2 |
|
|
2 |
|
= |
|
= |
|
|
|
|
|
|
· · · |
|
|
A− |
|
(A ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
det(A) |
|
|
det(A) |
|
|
|
|
|
|
|
.. |
. . |
|
|
|
|
|
. . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
1 |
A |
2 |
|
|
A |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
· · · |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
n |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Второй способ нахождения обратной матрицы.
При доказательстве теоремы 65 мы находили решение каждой из n систем (6.1) по формулам (5.3) (формулам Крамера).
Однако, как правило, значительно выгоднее использовать для этой цели модифицирован-
Это целесообразно ещё и потому, что все n систем уравнений, служащих для определе-
ния столбцов матрицы A−1, отличаются толь-
ко правыми частями. Поэтому процесс преобразования расширенных матриц этих систем можно проводить одновременно для всех матриц.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Для этого составим матрицу |
S |
C = (a¯1, a¯2, . . . , a¯n | e¯1, e¯2, . . . , e¯n),
где первые n столбцов – столбцы заданной матрицы A, следующие n столбцов, отделённые чертой и составляющие вместе единичную матрицу, – столбцы свободных членов для систем уравнений, определяющих элементы обратной матрицы. Проводим обычные операции модифицированного метода Гаусса для матрицы A, работая при этом с полными строками матрицы C.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Так как det(A) 6= 0, то, все столбцы матрицы A базисные и, следовательно, алгоритм преобразует матрицу A в матрицу, у которой в каждом столбце и в каждой строке будет по одной единице, а остальные элементы равны нулю. Переставляя строки матрицы C, если это надо, на месте матрицы A получим единичную матрицу, а матрица, отделённая чертой,
и есть искомая матрица A−1, так как каждый её столбец есть решение соответствующей системы уравнений.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
При практическом использовании этого алгоритма нахождения обратной матрицы удобно матрицу C записывать в виде
C = (E | A) · · · (A−1 | E).
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Пример 126. Найти матрицу, обратную матрице
|
|
1 |
2 |
− |
1 |
|
|
|
|
|
|
A = |
|
3 |
0 |
|
2 |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
2 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Решение 1. det(A) = −4,
1 |
|
|
1+1 |
|
|
0 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
1) |
|
|
|
|
|
|
= 4, |
|
|
|
|
|
|
|
A1 = ( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2+1 |
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
− |
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
A1 = ( 1) |
|
|
|
|
|
|
= 8, |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A13 = 4, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1+2 |
|
3 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
1) |
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
A2 = ( |
|
|
|
|
= |
|
|
7, |
|
|
|
|
|
4 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2+2 |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
− |
|
= 9, |
|
|
|
|
|
|
A2 = ( 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A23 = −5, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
1 |
|
1+3 |
|
3 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A3 = ( |
− |
1) |
|
|
|
|
|
|
|
= |
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2+3 |
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A3 = ( |
− |
1) |
|
|
|
|
|
|
|
= 10, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A33 = −6, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
1 |
|
2 |
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
A− |
1 |
|
|
|
|
|
v |
T |
= |
|
7 |
|
9 |
5 |
|
|
= |
|
|
|
(A ) |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
4 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
5 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Найти матрицу, обратную матрице
|
|
|
|
|
1 |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
A = |
|
3 |
0 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
2 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение 2. |
|
|
|
1 0 0 |
|
1 2 1 |
|
|
|
1 0 0 |
|
1 2 1 |
|
|
|
|
|
− |
|
− |
|
|
|
− − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 1 0 |
|
3 0 2 |
|
0 1 0 |
|
3 0 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
≡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 0 1 |
|
|
|
|
0 0 1 |
|
4 2 5 |
|
|
|
4 2 5 |
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) Разделить первую строку на (−1).
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
|
1 0 0 |
|
1 2 1 |
|
|
1 0 0 |
|
1 2 1 |
|
|
− |
|
|
− − |
|
− |
|
|
− − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 1 0 |
|
3 0 2 |
2 1 0 |
|
5 4 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
≡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 0 1 |
|
|
|
|
5 0 1 |
|
|
|
|
|
|
4 2 5 |
|
|
9 8 0 |
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) Заменить вторую строку суммой второй строки и первой, умноженной на (−2).
Заменить третью строку суммой третьей строки и первой, умноженной на (−5).
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
