•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Понятие обратной матрицы вводится только для квадратных матриц. Пусть
A = (aik), E = (eik) Mnn(R),
где E – единичная матрица, у которой на главной диагонали стоят единицы и остальные элементы равны нулю, т.е.
|
i |
|
1, |
если |
i = k, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
= |
|
|
i, k = |
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
если |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, |
i = k, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Mnn(R) на-
Определение 78. Матрица À−1
зывается обратной к квадратной матрице
À Mnn(R), если их произведение равно единичной матрице, т.е.
A · A−1 = E.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Теорема 65. Пусть
A = (aik) Mnn(R) и det(A) 6= 0.
Тогда существует единственная обратная матрица A−1 и
A−1 = 1 (Av)T , det(A)
где Av = (Aik) Mnn(R), Aik – алгебраическое дополнение элемента aik матрицы A.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Доказательство. Пусть
A−1 = (xik), E = (eik) Mnn(R).
По условию A · A−1 = E, поэтому для определения n2 элементов xik матрицы A−1 мы имеем n систем уравнений первой степени, содержа-
щих каждая n уравнений: |
S |
Ax¯1 = e¯1, Ax¯2 = e¯2, . . . , Ax¯n = e¯n. |
(6.1) |
Эти системы имеют одну и ту же основную матрицу A.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
По предположению det(A) 6= 0, поэтому каждая система, в силу теоремы 61, имеет единственное решение, которое можно вычислить по формулам (5.3) (формулам
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
e¯1 = (1, 0, . . . , 0)T Rn, |
|
|
|
|
то решение первой системы |
|
|
S |
1 |
A11 |
2 |
A21 |
n |
|
An1 |
x1 = |
|
, x1 = |
|
|
, . . . , x1 |
= |
|
; |
det(A) |
det(A) |
|
|
|
|
|
det(A) |
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
e¯2 = (0, 1, . . . , 0)T Rn, |
|
|
|
|
|
|
|
то решение второй системы |
|
|
|
|
S |
1 |
|
|
A12 |
2 |
|
A22 |
|
n |
|
|
An2 |
x2 |
= |
|
|
, x2 = |
|
|
|
, . . . , x2 |
= |
|
|
; |
det(A) |
det(A) |
|
|
|
|
|
|
|
|
det(A) |
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · |
e¯n = (0, 0, . . . , 1)T Rn, то решение n - той |
системы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
1 |
|
|
A1n |
2 |
|
A2n |
|
n |
|
|
Ann |
xn |
= |
|
|
, xn = |
|
|
|
|
, . . . , xn |
= |
|
|
. |
det(A) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
det(A) |
|
|
det(A) |
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
