ALGEBRA

Доказательство. Пусть c¯ = (c1, c2, . . . , cn)T ,

¯

1

2

n

T

любые два решения одно-

d = (d

, d , . . . , d

)

родной системы (5.5) и α, β R. Тогда

¯

¯

¯

¯

¯

т.к. Ac¯ = 0

Базис линейного пространства решений од-

нородной системы (5.5) линейных уравнений

называют фундаментальной системой ре-

шений (ФСР).

Следующая теорема устанавливает число ре-

шений в ФСР и, следовательно, размерность

линейного пространства решений.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Теорема 64. Eсли ранг r матрицы систе-

мы (5.5) меньше числа неизвестных n, то

существует ФСР, состоящая из (n − r) ре-

шений (равного числу свободных неизвест-

ных).

Доказательство. Модифицированным

мето-

дом Гаусса выберем базисные столбцы и стро-

ки в матрице A и их номера присвоим числам

β1 < β2 < · · · < βr

и

α1 < α2 < · < αr,

соответственно. Числам

βr+1 < βr+2 < · · · < βn

присвоим номера оставшихся столбцов в по-

рядке слева направо. Строки, не являющиеся

базисными в матрице A, вычеркнем из матри-

цы A.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

му:

xβ1 = a˜α1

xβr+1

a˜α1

xβr+2

a˜α1 xβn

−

βr+1

−

βr+2

− · · · −

βn

β

α

β

α

2

β

α

2

β

2

2

r+2

n

r+1

x

a˜

x

a˜ x

x = a˜

βr+1

βr+2

βn

−

−

− · · · −

,

β

α

β

α

r

β

α

r

β

r

r

r+2

n

r+1

x

a˜

x

a˜ x

x = a˜

βr+1

βr+2

βn

−

−

− · · · −

да Гаусса.

Свободным переменным придадим произволь-

ные значения:

xβr+k = tk, k = 1, 2, . . . , n − r.

αi

n

a˜βr+k,

−

−

β

i

c

если

i = r + k, k = 1, n

r,

= 1,

k

−

если

i = r + 1, n, k = 1,

n

r, i = r + k.

0,

−

Обозначим через C = (cki ) Mnn−r(R). Слайд!

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Система решений c¯1, c¯2, . . . , c¯n−r линейно

независима, т.к. rang C = n − r (см. теоре-

му 57). В силу (5.6), каждое решение систе-

мы есть линейная комбинация c¯1, c¯2, . . . , c¯n−r.

Следовательно, c¯1, c¯2, . . . , c¯n−r базис линейно-

го пространства решений однородной систе-

мы (5.5) линейных уравнений.

Без потери общности распределим перемен-

ные так:

x1, x2, . . . , xr – зависимые неизвестные,

xr+1, xr+2, . . . , xn – свободные неизвестные.

Придадим всем свободным неизвестным нуле-

вые значения, кроме одного, значение которо-

го положим равным 1. Получим (n − r) реше-

ний

..., x1r,

1

..., x2r,

0

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ,

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ,

(xn1

−r, ..., xnr −r, 0

как покажем ниже, образующих ФСР систе-

мы (5.5).

•First

•Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Из этих столбцов-решений можно сформиро-

вать матрицу ранга, как очевидно, равного

(n−r). Следовательно, решения этой совокуп-

ности линейно независимы.

Произвольное решение системы (5.5) равно

линейной комбинации решений (5.7) с ко-

эффициентами, равными значениям свобод-

ных неизвестных соответственно, начиная с

(r + 1).