ALGEBRA

Будем считать переменные x1 и x2 – зависи-

мыми, а переменные x3 и x4 – свободными.

Тогда общее решение системы имеет вид

x1 =

7s

22

4

−

4

2

1

22

=

s + t

x

4

4

−

−

3

= s

x

4

= t

x

И

Инструмент позволяет находить общее реше-

ние систем линейных уравнений, имеющих

не более шести переменных, коэффициенты

которых целые числа.

(Инструмент предназначен для учебных це-

лей).

Система (5.5) всегда совместна, так как заве-

домо имеет нулевое решение

¯

T

R

n

.

0 = (0, 0, . . . , 0)

Это решение называют тривиальным.

при

котором

система

(5.5) име-

ет нетривиальные решения, устанавливается

Теорема 62. Система (5.5) однородных ли-

нейных уравнений имеет нетривиальные ре-

шения тогда и только тогда, когда ранг ее

основной матрицы меньше числа неизвест-

ных.

Доказательство. Необходимость.

Пусть

совокупность чисел c1, c2, . . . , cn образуют

нетривиальное решение системы (5.5). Это

a¯1c

1

+ a¯2c

2

+ · · · + a¯nc

n

¯

= 0

1

a¯1

2

a¯2

+ · · · + c

n

¯

c

+ c

Итак, линейная комбинация столбцов матри-

цы À с нетривиальными коэффициентами рав-

¯

на 0. Следовательно, столбцы матрицы линей-

но зависимы и по теореме 57 rangA < n.

•First •Prev •Next •Last

•Go Back

•Full Screen •Close •Quit

Достаточность. Пусть rangA < n. При этом

условии есть свободные неизвестные, которым

можно придавать любые значения, в том числе

не равные нулю. Система (5.5) имеет множе-

ство нетривиальных решений.

Следствие 62.1. Eсли A Mnn(R), то необхо-

димым и достаточным условием существо-

вания нетривиального решения системы од-

нородных уравнений является равенство ну-

лю определителя ее матрицы.

Теорема 63. Множество решений систе-

мы (5.5) однородных линейных уравнений

является линейным подпространством про-

странства Rn.