ALGEBRA

Свободным переменным придадим произволь-

ные значения: xβr+k = tk, k = 1, 2, . . . , n − r.

Пусть

k

˜αk

,

если

k = 1, r,

b

d

=

если

0,

k = r + 1,

n.

и

αi

если i = 1, r, k = 1,

n

a˜βr+k,

−

−

β

i

c

если i = r + k,

k = 1, n

r,

= 1,

k

−

если i = r + 1,

n, k = 1,

n

r, i = r + k.

0,

−

¯

1

2

n

T

,

Обозначим через d = (d

, d , . . . , d

)

•First •Prev

Легко видеть, что rangC = n − r. Тогда все

решения системы можно записать в виде:

x¯ = d¯+ c¯1t1 + c¯2t2 + · · · + c¯n−rtn−r.

(5.4)

Очевидно, что это решение самое полное (его

называют общим), так как содержит любое

решение исходной системы линейных уравне-

ний. Придавая какие-либо конкретные значе-

ния свободным неизвестным, будем получать

частные решения.

Таким образом, если есть свободные неизвест-

ные, то система имеет множество решений и

неопределённая.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Пример 122. Найти общее и некоторое част-

ное решения системы линейных уравнений с

3

2 5 4

2

−

B =

6

4 4 3

3

−

9

6 3 2

4

−

Решение. Работая со строками матрицы B,

модифицированным методом Гаусса выделим

базисные столбцы и строки матрицы A:

3

2 1 1

1

−

−

B

6

4 4 3

3

−

9

6 3 2

4

−

3

2 1 1

1

3

1

2 1 1

−

−

−

−

15 10 1 0

6

15 10 1 0

6

−

−

15 10 1 0

6

0

0 0 0

0

−

Таким образом, x3, x4 – зависимые неизвест-

ные, а x1, x2 – свободные неизвестные.

•First

•Prev •Next

•Last

•Go Back •Full Screen

•Close •Quit

Система, после переноса вправо членов со сво-

бодными неизвестными, примет вид

x3

+ x4 = 1 + 3x1

2x2

−

−

3

= 6

15x

1

+ 10x

2

x

−

x1

0

0

1

2

0

0

1

1

2

x

=

+

t +

t .

x =

3

6

15

10

x

−

4

7

18

12

x

−

−

x¯ = (1, 1, 1, −1)T .

•First

•Prev •Next

•Last •Go Back

•Full Screen

•Close

•Quit

Пример 123. Дана система линейных уравне-

ний

x1 + 3x2 + 5x3 + 2x4 = 6

1

2

3

4

3x

2x

2x

3x = 11

−

−

−

−

x

1

x

2

2x

3

=

9

−

−

−

2

3

4

2x

4x

x

=

8

−

−

−

−

Решить систему методом Гаусса.

Решение. Записав расширенную матрицу си-

стемы и работая с её строками, выделим

модифицированным методом Гаусса базисные

столбцы и строки основной матрицы системы.

1

3

5

2

6

3

2

2

3

11

−

−

−

−

1

1

2

0

9

−

−

−

≡

0

2

4

1

8

−

−

−

−

•First

•Prev •Next •Last

•Go Back •Full Screen •Close •Quit

6

6

11

29

−

−

−

−

9

15

≡

− −

−

≈

−

8

8

−

−

−

−

−

−

−

−

1) Вторую строку заменяем суммой второй

строки и первой, умноженной на три.

Третью строку заменяем суммой третьей стро-

•First •Prev

•Next •Last •Go Back •Full Screen

•Close •Quit

1 3 5 2

6

1 3 5 2

6

0 7 13 3

29

0 1 1 0

5

0 4 7 2

15

0 4 7 2

15

≡

− − −

−

≈

− − −

−

0 2 4 1

8

0 2 4 1

8

−

−

−

−

−

−

−

−

2) Вторую строку заменяем суммой второй

1 3 5 2

6

1 0 2 2

6

0 1 1 0

5

0 1 1 0

5

0 4 7 2

15

0 0 3 2

5

≡

− − −

−

≈

− −

0 2 4 1

8

0 0 2 1

2

−

−

−

−

−

−

•First

•Prev •Next •Last •Go Back

•Full Screen

•Close •Quit