ALGEBRA

Пусть

система

(5.1)

совместна

и

1

2

a¯2 + · · · + c

n

a¯n

¯

c

a¯1 + c

= b.

Это означает, что столбец из свободных чле-

нов равен линейной комбинации столбцов

основной матрицы A системы (5.1) с коэф-

фициентами cj. Поэтому столбец из свобод-

ных членов в расширенной матрице B систе-

мы (5.1) можно вычеркнуть и при этом ранг

матрицы B не изменится. Но после вычерки-

вания, получим матрицу A.

•First •Prev •Next

•Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Достаточность. Пусть rangA = rangB = r.

Тогда матрицы A и B имеют общий базисный

¯

минор, в который не входит столбец b из сво-

бодных членов. Зафиксируем такой базисный

минор и обозначим его столбцы:

По теореме 54 (о базисном миноре)

r

¯b = X λβj a¯βj.

j=1

Рассмотрим набор чисел (c1, c2, . . . , cn)T , где

j

j

,

если j

λ

{

c

=

если j

0,

/

{

}

Тогда

¯b =

n

cj a¯j.

X

j=1

Это равенство означает, что

(c1, c2, . . . , cn)T

– решение системы. Таким образом, система

совместна.

5.2. Правило Крамера решения систем

Для сокращения записи доказательства пра-

вила Крамера мы будем использовать двойные

суммы. Двойная сумма определяется соотно-

шениями

(a1 + a2 + ... + an)(b1 + b2 + ... + bm) =

n

m

n

m

bj)] =

= ( X

ai)( X

bj) = X

[ai( X

i=1

j=1

i=1

j=1

n

m

n

m

=

X ( X aibj) =

X X aibj.

i=1 j=1

i=1 j=1

•First

•Prev •Next

•Last •Go Back

•Full Screen •Close

•Quit

Её основное свойство заключается в возмож-

ности перестановки местами знаков суммиро-

m

m

n

Пусть дана система линейных уравнений, в

которой число уравнений совпадает с числом

= bi,

(5.2)

i = 1, 2, . . . , n,

¯

x¯ = b,

A = (a¯1, a¯2, . . . , a¯n) Mn1 (Rn),

x¯ = (x1, x2, . . . , xn)T Rn,

1

2

, . . . , b

n

)

T

R

n

.

b = (b

, b

•First

•Prev •Next

•Last

•Go Back

•Full Screen •Close •Quit

Рассмотрим n вспомогательных матриц, полу-

чаемых заменой одного столбца матрицы A

1

n

),

k = 1, n.

Теорема 61. (Крамер). Eсли det(A) систе-

мы (5.2)

¯

A · x¯ = b

не равен нулю, то система имеет един-

ственное решение x¯ = (x1, x2, . . . , xn)T , ко-

торое находится по формуле

¯

xk = det(Ak(b)), k = 1, n.

(5.3)

det(A)

Доказательство. Так как

det(A) 6= 0, то

rangA = rangB = n. По теореме 60 (Кро-

некера - Капелли) система (5.2) совместна.

Пусть c¯ = (c1, c2, . . . , cn)T

– решение систе-

мы (5.2). Зафиксируем k и найдем ck. Подста-

вим решение c¯ в систему (5.2).

Умножим i - тоe уравнение системы (5.2) на

алгебраическое дополнение Aki , i = 1, n.

Затем полученные уравнения сложим:

n

n

n

biAki .

X (Aki

X aji cj) =

X

i=1

· j=1

i=1

•First •Prev •Next

•Last

•Go Back •Full Screen •Close •Quit

n

i

n

i j

=

n

c

j

n

i i

=

n

i

i

X

Ak

·

X

ajc

X

X

ajAk

X

b

Ak,

i=1

j=1

j=1

i=1

i=1

с учетом (см. теорему 51 и теорему 52)

n

i

i

если j = k

det(A),

a

A

k

=

X

j

если j = k

i=1

0,

6

и того, что

n

biAki

= det(Ak(b)),

X

i=1

c

k

¯

•First •Prev

•Next