ALGEBRA

Используя знак суммирования, систему (5.1)

можно записать так:

n

X

i=1

Для системы (5.1) матрица

a1

a1

· · ·

a1

1

2

n

a

2

a

2

a

2

1

2

n

k

m

· · ·

A =

или

A = (ai )

Mn (R),

.

.

..

.

.

m

a

m

a

m

a

1

2

n

· · ·

составленная из коэффициентов при неизвест-

ных, называется основной матрицей систе-

мы.

•First

•Prev •Next

•Last •Go Back

•Full Screen •Close •Quit

Матрица

a1

a1

· · ·

a1

b1

1

2

n

2

a

2

a

2

a

2

b

1

2

n

· · ·

B =

,

.

.

..

.

.

.

m

a

m

a

m

b

m

a

1

2

n

· · ·

полученная из матрицы À присоединением к

ней столбца из свободных членов, называется

расширенной матрицей системы.

Введём ещё две матрицы x¯ = (x1, x2, . . . , xn)T ,

¯

1

2

, . . . , b

m

T

. Eсли воспользоваться

b =

(b

, b

)

произведением матриц, то систему (5.1) мож-

но записать одним матричным равенством

a1

a1

· · ·

a1

x1

b1

1

2

n

2

2

a

2

a

2

a

2

b

1

2

n

x

· · ·

=

.

.

..

.

.

.

.

m

a

m

a

m

n

m

a

1

2

n

x

b

· · ·

¯

= b.

•First •Prev •Next

•Last •Go Back

•Full Screen •Close •Quit

¯

столбец b

Rm является линейной комбинацией столбцов

2

n

¯

a¯1 + x

a¯n = b.

Определение

(5.1)

называется всякая упорядоченная совокуп-

ность чисел c1, c2, . . . , cn , подстановка ко-

торых

в

систему

на

место

неизвестных

x1, x2, . . . , xn, соответственно, обращает все

уравнения системы в арифметические тожде-

ства, т.е.

X aji cj

≡

bi, i = 1, m.

j

Подчеркнем,

что

совокупность

чисел

c1, c2, . . . , cn составляет одно решение си-

стемы, это точка c¯ = (c1, c2, . . . , cn)T Rn.

•First •Prev

•Next •Last

•Go Back •Full Screen •Close •Quit

Определение 75. Система

(5.1) называется

совместной, если она имеет хотя бы одно ре-

шение. Система (5.1), не имеющая решений,

называется несовместной.

Определение 76. Система

(5.1), имеющая

единственное решение, называется определен-

ной, а система (5.1), имеющая более одного

решения – неопределенной.

Определение 77. Система (5.1), у которой

все свободные члены bi равны нулю, называ-

ется однородной линейной системой, в про-

тивном случае – неоднородной.