•замена какого-либо столбца суммой этого же столбца с другим столбцом, предварительно умноженным на число (см. теорему 59);
•те же преобразования строк.
Спомощью элементарных преобразований получают в матрице A такое количество нулей, чтобы базисный минор выделялся без какихлибо вычислений, наглядно.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
•замена какого-либо столбца суммой этого же столбца с другим столбцом, предварительно умноженным на число (см. теорему 59);
•те же преобразования строк.
Спомощью элементарных преобразований получают в матрице A такое количество нулей, чтобы базисный минор выделялся без какихлибо вычислений, наглядно.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
•замена какого-либо столбца суммой этого же столбца с другим столбцом, предварительно умноженным на число (см. теорему 59);
•те же преобразования строк.
Спомощью элементарных преобразований получают в матрице A такое количество нулей, чтобы базисный минор выделялся без какихлибо вычислений, наглядно.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2 3 0 |
− |
1 |
|
|
|
1 |
|
2 |
|
3 0 |
− |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 3 4 1 |
|
2 |
|
|
|
0 |
|
1 |
|
2 1 |
|
0 |
|
|
|
− |
|
|
|
− |
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
≈ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
≈ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 5 7 1 |
|
3 |
|
|
|
0 |
|
1 |
|
2 1 |
|
0 |
|
|
|
− |
|
|
|
− |
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 4 2 1 |
|
1 |
|
|
|
0 |
|
4 |
|
2 1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 0 |
1 |
|
|
|
|
− |
|
0 |
1 |
2 1 |
0 |
|
|
|
− |
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
6 5 |
1 |
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Здесь ≈ знак эквивалентности матриц в смысле равенства их рангов.
Вторую матрицу получили, применяя элементарные преобразования:
вторую строку заменили суммой второй строки и первой строки, умноженной на (−2); третью строку заменили суммой третьей строки и первой строки, умноженной на (−3).
Потом, во второй матрице:
четвёртую строку заменили суммой четвёртой строки и второй строки, умноженной на (4).
третью строку, равную второй, вычеркнули.
В последней матрице легко выделяется базисный минор третьего порядка (выделен красным цветом), из чего следует, что rangA = 3.
Можно указать базисный минор исходной матрицы, восстанавливая в обратном порядке старые номера строк и столбцов базисного минора полученной третьей матрицы. Элементы этого минора расположены на пересечении 1, 2 и 4 строк, 1, 2 и 3 столбцов.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
T
В верхнем левом углу Вы видите матрицу, размеры и элементы которой случайные числа. Метод вычисления ранга матрицы основан на использовании элементарных преобразований, не изменяющих ранга матрицы. В нижней части тренажёра расположены элементарные преобразования не меняющие значения ранга матрицы. Все вычисления производит компьютер под Вашим руководством. Если какая-то операция оказалась неудачной Вы можете с помощью кнопки "Откатить операцию" вернутся на один шаг назад. В правом верхнем углу расположено окно ввода значения ранга матрицы.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
И
Инструмент позволяет вычислять ранг матрицы до седьмого порядка включительно, элементы которых целые числа.
(Инструмент предназначен для учебных целей).
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Алгоритм выделения базисных столбцов. ( Модифицированный метод Гаусса)
При выделении базисного минора выше описанным методом, номера базисных столбцов исходной матрицы приходится восстанавливать в обратном порядке, что не всегда удобно. Действия, проводимые в предыдущем
пункте с целью выделения базисного минора, можно систематизировать в виде алгоритма.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Пусть задана ненулевая матрица
A= (aij) Mmn (R).
1.Фиксируем элемент aij матрицы A равный
единице. Eсли такого элемента нет, то его можно получить двумя способами:
а) фиксируем произвольный элемент матрицы A отличный от нуля и делим на это число все элементы строки, в которой стоит фиксиро-
ванный нами элемент.
б) получить i - тую строку матрицы A как линейную комбинацию i - той и k -той строки, умноженной на некоторое число. Число подо-
брать так, чтобы в i - той строке появилась единица.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
2. В j - том столбце обратим все элементы, кроме aij = 1 , в нули. Для этого элементы k - ой строки заменим суммами элементов k - ой строки с элементами i -
той строки умноженных предварительно на
(−akj ), k = 1, 2, . . . , m, k 6= i.
3. Выделенные j - тый столбец и i - тую строку помечаем буквой (Б) – это базисные столбец и базисная строка. Выделенную i - тую строку ставим первой в матрице A , так чтобы
выделенные базисные строки занимали верхнюю часть матрицы.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
