Теорема 58. Пусть A = (aij) Mmn (R) и rangA = r. Пусть, далее,
1 ≤ β1 < β2 < · · · < βr
номера базисных столбцов. Обозначим через
Lr = {α1a¯β1 + α2a¯β2 + · · · + αra¯βr |
α1, α2, . . . , αr R}.
Тогда Lr – линейное пространство и dim Lr = r.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Доказательство. Базисные столбцы
a¯β1, a¯β2, . . . , a¯βr Rm
образуют линейно независимую систему в Rm.
По теореме 6, Lr = L(a¯β1, a¯β2, . . . , a¯βr) есть линейное подпространство Rm и dim Lr = r.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Теорема 59. Замена какого - либо столбца суммой этого столбца с другим столбцом, предварительно умноженным на число, не изменяет ранг матрицы.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Доказательство. Фиксируем α R и два столбца a¯i, a¯k матрицы A. Заменим столбец
a¯k на столбец |
¯ |
= a¯k + αa¯i и обозна- |
bk |
чим новую матрицу через Ak. Покажем, что rangA =rangAk. Пусть rangA = r и
1 ≤ β1 < β2 < · · · < βr
номера базисных столбцов матрицы A. Обозначим через
Lr = {α1a¯β1 + α2a¯β2 + · · · + αra¯βr |
α1, α2, . . . , αr R}.
По теореме 58, Lr – линейное пространство и dim Lr = rangA = r.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Покажем, что все столбцы матрицы A яв-
ляются элементами Lr. Действительно, если j {β1, β2, . . . , βr}, то a¯j Lr, если же
j / {β1, β2, . . . , βr}, то по теореме 54 (о базисном миноре) столбец a¯j есть линейная ком-
бинация базисных столбцов и следовательно a¯j Lr. Так как Lr линейное пространство
r |
¯ |
r |
совокуп- |
и a¯i, a¯k L , то столбец bk |
L . В |
r |
|
¯ |
|
L не |
ности a¯1, a¯2, . . .r, a¯k−1, bk, a¯k+1, . . . , a¯n |
более r = dim L |
линейно независимых столб- |
цов и, следовательно, rangAk ≤ rangA. Итак, с помощью описанного в теореме 59 ли-
нейного преобразования столбцов нельзя повысить ранг матрицы.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Покажем, далее, что эти преобразования не могут понизить ранг матрицы. Доказательство будем вести методом от противного.
Предположим, что rangAk < r. Заменяя стол- |
¯ |
¯ |
бец bk матрицы Ak столбцом bk − αa¯i = a¯k мы
получим матрицу A, ранг которой равен r. Но матрица A получена из матрицы Ak с помо-
щью преобразования, не повышающего ранга матрицы.
Следовательно, rangA = rangAk.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Способ нахождения ранга и базисного минора матрицы.
Способ основан на использовании элементарных преобразований, не изменяющих ранга матрицы:
•перестановка двух столбцов (число линейно независимых столбцов не изменится);
•вычеркивание столбца, состоящего из нулей (в базисный минор не входит);
•вычеркивание столбца, являющейся линейной комбинацией других столбцов (его можно сделать нулевым);
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Способ нахождения ранга и базисного минора матрицы.
Способ основан на использовании элементарных преобразований, не изменяющих ранга матрицы:
•перестановка двух столбцов (число линейно независимых столбцов не изменится);
•вычеркивание столбца, состоящего из нулей (в базисный минор не входит);
•вычеркивание столбца, являющейся линейной комбинацией других столбцов (его можно сделать нулевым);
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Способ нахождения ранга и базисного минора матрицы.
Способ основан на использовании элементарных преобразований, не изменяющих ранга матрицы:
•перестановка двух столбцов (число линейно независимых столбцов не изменится);
•вычеркивание столбца, состоящего из нулей (в базисный минор не входит);
•вычеркивание столбца, являющейся линейной комбинацией других столбцов (его можно сделать нулевым);
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Способ нахождения ранга и базисного минора матрицы.
Способ основан на использовании элементарных преобразований, не изменяющих ранга матрицы:
•перестановка двух столбцов (число линейно независимых столбцов не изменится);
•вычеркивание столбца, состоящего из нулей (в базисный минор не входит);
•вычеркивание столбца, являющейся линейной комбинацией других столбцов (его можно сделать нулевым);
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
