ALGEBRA

Доказательство. Необходимость.

Пусть A – квадратная матрица порядка n и

det(A) = 0.

Тогда rangA < n. По теореме 55 следует линейная зависимость столбцов.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Достаточность. Пусть столбцы матрицы A линейно зависимы. По теореме 1 один из столбцов, например, первый, является линейной комбинацией остальных. Вычтем из первого столбца в точности такую же линейную комбинацию остальных столбцов. При этом det(A) не изменится (см. теорему 49), но мы получим матрицу с первым столбцом, состоящем из нулей. Определитель такой матрицы равен нулю (см. опр. 67).

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Следствие 56.1. Определитель матрицы не равен нулю тогда и только тогда, когда совокупность всех его столбцов образует линейно независимую систему.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Теорема 57. Ранг матрицы равен максимальному числу ее линейно независимых столбцов.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Доказательство. Пусть ранг матрицы

A = (a¯1, a¯2, . . . , a¯n) M1n(Rm)

равен r ≤ min{n, m}.

Покажем, что в этой матрице существует r линейно независимых столбцов, а то, что любая совокупность, состоящая из большего числа столбцов, линейно зависима, следует из теоремы 55.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Зафиксируем базисный минор. Пусть

α1 < α2 < · · · < αr

номера базисных строк и

β1 < β2 < · · · < βr

номера базисных столбцов, соответственно. Обозначим bij = aαβji.

Покажем, что система столбцов

a¯β1, a¯β2, . . . , a¯βr Rm

линейно независимая.

Предположим противное, т.е. существуют числа λ1, λ2, . . . , λr R, среди которых хотя бы одно отлично от нуля, и

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

(4.23) (В (4.23) синим цветом выделены элементы матрицы A, стоящие на пересечении базисных строк и базисных столбцов).

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Так как в линейном пространстве Rm операции сложения и умножения на число введены покомпонентно, то имеет место

(4.24) причём среди чисел λ1, λ2, . . . , λr R, есть хотя бы одно отличное от нуля.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Соотношения (4.24) означают, что система

линейно зависимая, т.е. столбцы матрицы

линейно зависимые и, в силу теоремы 56,

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Отметим, что в формулировках теорем можно заменить слово “столбец” словом “строка”. Для данной теоремы получим:

Следствие 57.1. Максимальное число линейно независимых строк матрицы равно максимальному числу линейно независимых столбцов этой матрицы.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit