4.5. Ранг матрицы
Ранг матрицы – это важнейшая ее характе-
ристика. В основе определения ранга лежит понятие минора p - го порядка матрицы.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Пусть m, n N фиксированы и A Mmn (K). Фиксируем p N, 1 ≤ p ≤ min{m, n}. Произвольным образом выберем p строк и p столбцов. Запишем номера выбранных строк:
α1 < α2 < ... < αp
и номера выбранных столбцов:
β1 < β2 < ... < βp.
Обозначим через bij = aαβji и B = (bij)
Mpp(K).
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Определение 70. Определитель матрицы B = (bij) Mpp(K) называется минором p - го порядка матрицы A.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Введём сокращённые обозначения для миноров p - го порядка матрицы A :
A |
|
α |
1 |
α |
2 |
. . . αp |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
β |
|
β |
2 |
. . . β |
|
|
|
1 |
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2 3 |
1 |
|
|
|
2 3 |
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
Пусть A = |
|
4 5 6 |
0 |
|
, тогда A |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 8 9 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
– один из миноров второго порядка.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Число различных миноров второго порядка этой матрицы определяется числом способов выбора двух из трех строк (три способа) и двух из четырех столбцов (шесть способов). Причем, каждый способ выбора строк сочетается с каждым способом выбора столбцов. Таким образом, число различных миноров второго порядка этой матрицы равно 18.
Eсли A квадратная матрица n-го порядка, то
|
|
|
|
|
det(A) = A |
1 2 |
. . . n |
. |
|
|
1 2 |
. . . n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Определение 71. Число r называется рангом ненулевой матрицы, если существует не равный нулю минор порядка r этой матрицы, а все миноры (r + 1) порядка, если они есть, равны нулю. Ранг нулевой матрицы полагаем, по определению, равным нулю.
Или по другому.
Определение 72. Рангом ненулевой матрицы
называется наивысший порядок отличного от нуля минора матрицы.
Ранг нулевой матрицы полагаем, по определению, равным нулю.
Ранг матрицы A обозначают r = rangA.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Определение 73. Любой, отличный от нуля минор порядка, равного рангу матрицы A, называется базисным минором матрицы A. Строки и столбцы матрицы A, на пересечении которых расположен выбранный базисный минор, называются базисными строками и базисными столбцами матрицы A.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Строки матрицы A являются элементами пространства Rn, а столбцы матрицы A являются элементами пространства Rm. Следовательно, на них распространяется определение линейной зависимости и линейной независимости. Ранг матрицы и линейная независимость ее строк или столбцов тесно связаны друг с дру-
гом. Эта связь устанавливается ниже. Вначале докажем теорему о базисном миноре.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Теорема 54. (О базисном миноре). Любой столбец матрицы является линейной комбинацией ее базисных столбцов.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Доказательство. Пусть A = (aij) Mmn (R) и rangA = r. Зафиксируем базисный минор. Пусть номера базисных строк:
α1 < α2 < · · · < αr
и номера базисных столбцов:
β1 < β2 < · · · < βr,
соответственно.
Фиксируем произвольный столбец a¯k Rm матрицы A.
1. Eсли k {β1, β2, ..., βr} , то, очевидно, что a¯k есть линейная комбинация базисных столбцов.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
