б) Рассмотрим |
общий |
случай. |
Фик- |
сируем |
элемент |
ai |
матрицы |
A. |
|
|
j |
|
|
1 |
2 · · · j − 1 |
j j + 1 · · · n − 1 |
n |
a11 |
a21 |
· · · |
aj1−1 |
aj1 |
aj1+1 |
· · · |
an1−1 |
an1 |
a12 |
a22 |
· · · |
aj2−1 |
aj2 |
aj2+1 |
· · · |
an2−1 |
an2 |
. |
. |
... |
. |
. |
. |
... |
. |
. |
ai−1 |
ai−1 |
· · · |
ai−1 |
ai−1 |
ai−1 |
· · · |
ai−1 |
ai−1 |
1 |
2 |
j−1 |
j |
j+1 |
n−1 |
n |
a1i |
a2i |
· · · |
aji −1 |
aji |
aji +1 |
· · · |
ani −1 |
ani |
a1i+1 |
a2i+1 |
· · · |
aji+1−1 |
aji+1 |
aji+1+1 |
· · · |
ani+1−1 |
ani+1 |
. |
. |
... |
. |
. |
. |
... |
. |
. |
an−1 |
an−1 |
· · · |
an−1 |
an−1 |
an−1 |
· · · |
an−1 |
an−1 |
1 |
2 |
j−1 |
j |
j+1 |
n−1 |
n |
a1n |
a2n |
· · · |
ajn−1 |
ajn |
ajn+1 |
· · · |
ann−1 |
ann |
1
2
.
i − 1
i
i + 1
.
n − 1
n
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Переставим (i − 1) раз строки матрицы A.
1 |
2 |
· · · |
j − 1 |
j |
j + 1 |
· · · |
n − 1 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a1i |
a2i |
· · · |
aji −1 |
aji |
aji +1 |
· · · |
ani −1 |
ani |
a11 |
a21 |
· · · |
aj1−1 |
aj1 |
aj1+1 |
· · · |
an1−1 |
an1 |
a12 |
a22 |
· · · |
aj2−1 |
aj2 |
aj2+1 |
· · · |
an2−1 |
an2 |
. |
. |
... |
. |
. |
. |
... |
. |
. |
ai−1 |
ai−1 |
· · · |
ai−1 |
ai−1 |
ai−1 |
· · · |
ai−1 |
ai−1 |
1 |
2 |
j−1 |
j |
j+1 |
n−1 |
n |
a1i+1 |
a2i+1 |
· · · |
aji+1−1 |
aji+1 |
aji+1+1 |
· · · |
ani+1−1 |
ani+1 |
. |
. |
... |
. |
. |
. |
... |
. |
. |
an−1 |
an−1 |
· · · |
an−1 |
an−1 |
an−1 |
· · · |
an−1 |
an−1 |
1 |
2 |
j−1 |
j |
j+1 |
n−1 |
n |
a1n |
a2n |
· · · |
ajn−1 |
ajn |
ajn+1 |
· · · |
ann−1 |
ann |
Рис. 34. det(B) = (−1)i−1 det(A)
S
1
2
.
i − 1
i
i + 1
.
n − 1
n
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Переставим (j −1) раз столбцы матрицы B. S
1 |
2 · · · j − 1 j j + 1 · · · n − 1 n |
|
aji |
a1i |
a2i |
· · · |
aji −1 |
aji +1 |
· · · |
ani −1 |
ani |
|
aj1 |
a11 |
a21 |
· · · |
aj1−1 |
aj1+1 |
· · · |
an1−1 |
an1 |
|
aj2 |
a12 |
a22 |
· · · |
aj2−1 |
aj2+1 |
· · · |
an2−1 |
an2 |
|
. |
. |
. |
... |
. |
. |
... |
. |
. |
|
ai−1 |
ai−1 |
ai−1 |
· · · |
ai−1 |
ai−1 |
· · · |
ai−1 |
ai−1 |
|
j |
1 |
2 |
j−1 |
j+1 |
n−1 |
n |
|
aji+1 |
a1i+1 |
a2i+1 |
· · · |
aji+1−1 |
aji+1+1 |
· · · |
ani+1−1 |
ani+1 |
|
. |
. |
. |
... |
. |
. |
... |
. |
. |
|
an−1 |
an−1 |
an−1 |
· · · |
an−1 |
an−1 |
· · · |
an−1 |
an−1 |
|
j |
1 |
2 |
j−1 |
j+1 |
n−1 |
n |
|
ajn |
a1n |
a2n |
· · · |
ajn−1 |
ajn+1 |
· · · |
ann−1 |
ann |
Рис. 35. det(C) = (−1)(i−1)+(j−1) det(A)
1
2
.
i − 1
i
i + 1
.
n − 1
n
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
В результате получим det(C) , связанный с det(A) соотношением (теорема 42):
det(C) = (−1)(i−1)+(j−1)·det(A) = (−1)i+j·det(A).
В силу теоремы 50, алгебраические дополнения одного и того же элемента матриц C и A также связаны соотношением:
C11 = (−1)i+j Aij
(см. рис. 33 и рис. 35).
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Так как, согласно а),
C11 = M11(C),
где M11(C) – минор элемента, стоящего в первой строке и первом столбце матрицы C. Оче-
видно, что
M11(C) = Mji(A)
(вычеркиваем одинаковые строки и столбцы, см. рис. 33 и рис. 35). Отсюда получаем, что
Mji ≡ Mji(A) = (−1)i+j Aij
и наоборот
Aij = (−1)i+j Mji.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Подставляя установленное соотношение в (4.16) и (4.17), получим практичные вы-
числительные формулы для определителя квадратной матрицы порядка n:
|
n |
|
|
1)k+jajkMjk |
|
det(A) = |
X |
( |
− |
= |
|
j=1 |
|
|
|
= (−1)k+1ak1 M1k + (−1)k+2ak2 M2k + · · ·
· · · + (−1)k+naknMnk.
(4.20)
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
det(A) = n (−1)k+iai Mi =
X
i=1
k k
= (−1)k+1a1kMk1 + (−1)k+2a2kMk2 + · · ·
· · · + (−1)k+nankMkn.
(4.21)
Эти формулы сводят вычисление определителя матрицы n-го порядка к вычислению опре-
делителей матриц порядка (n − 1).
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
1 1 |
|
|
|
|
1 1 |
|
|
|
1 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 1 1 |
|
= 1 |
|
− |
|
|
|
2 |
|
|
|
+ 3 |
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
− · |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 1 |
|
|
|
|
0 1 |
|
|
|
0 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 2 1 |
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
T
Тренажёр второго уровня выполнен в виде дополнительной клавиатуры. Дополнительными клавишами являются элементы первой строки определителя матрицы и кнопка "Копировать минор". При вычислении миноров можно воспользоваться калькулятором. Результаты вычислений контролируются.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
И
