ALGEBRA

Доказательство. Пусть в матрице A поменяли местами k-ю и m-ю строки (k-й и m-й столбцы). Полученную матрицу обозначим через B. Фиксируем произвольный элемент aij матрицы A. Объединим (n − 1)! слагаемых det(A), которые содержат этот элемент aij. Тогда, в силу теоремы 43 (теоремы 44), для каждого слагаемого det(A) этой группы найдётся слагаемое det(B) отличающиеся только знаком. Вынесем aij за скобки суммы выделенных групп. Выражения в скобках, являются алгебраическими дополнением элемента aij в матрице A и матрице B, соответственно, и отличаются только знаками.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Теорема 51. (Теорема Лапласа). Сумма всех произведений элементов какой-либо строки квадратной матрицы A на их алгебраические дополнения равна определителю матрицы A, то есть, например, для k - ой строки

det(A) = ak1 Ak1 + ak2 Ak2 + . . . + aknAkn =

= n akAk. (4.16)

X

i=1 i i

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Доказательство. Сумму в (4.6) можно разбить на n групп слагаемых так, что слагаемые в каждой группе содержат один из элементов выбранной строки (число слагаемых в каждой группе равно (n − 1)!, а всего слагаемых n(n −1)! = n!). Eсли вынести за скобку общий элемент в каждой группе, то получим требуемое.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Представление (4.16) называют разложением определителя по элементам k - ой строки. Аналогично можно выполнить разложение по элементам какого-либо k - го столбца.

det(A) = a1kA1k + a2kA2k + . . . + ankAnk =

Формулами (4.16), (4.17) для вычисления определителя воспользоваться невозможно,

так как пока отсутствует способ вычисле-

ния алгебраического дополнения. Этот способ устанавливается ниже.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Теорема 52. Сумма произведений элементов какого-либо столбца квадратной матрицы на алгебраические дополнения, соответствующие элементам другого столбца этой же матрицы, равна нулю.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Доказательство. Пусть задана матрица A =

(aij) Mnn(R). Фиксируем 1 ≤ k, s ≤ n, k 6= s. Рассмотрим вспомогательную матрицу B,

полученную из матрицы A заменой элементов k - го столбца числами b1k, b2k, . . . , bnk:

¯

B = (a¯1, a¯2, . . . , a¯s, . . . , a¯k−1, bk, a¯k+1, . . . , a¯n).

Так как при вычислении алгебраических дополнений к элементам k - го столбца элементы этого столбца не участвуют, то

Bki = Aik, i = 1, 2, . . . , n.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Запишем разложение определителя матрицы B по k - му столбцу:

Заменим числа bjk на ajs, j = 1, 2, . . . , n, одновременно в матрице B и формуле (4.18). Получим матрицу B, у которой два столбца совпадают (s - й и k - й). Определитель такой матрицы равен нулю (см. теорему 45), т.е.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Определение 69. В квадратной матрице A = (aik) порядка n вычеркнем строку с номером i и столбец с номером j. Определитель полученной матрицы порядка (n − 1) называется

минором элемента aij и обозначается Mji.

Например,

M11 = X(−1)t a2β2 a3β3 . . . anβn, (4.19) где t = N(β2 − 1, β3 − 1, . . . , βn − 1).

Здесь учтено превышение значений индексов у элементов минора на единицу от реальных

значений столбцов матрицы.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Между алгебраическим дополнением Aij и минором Mji элемента aij существует замечательная связь.

Теорема 53. Имеет место равенство

Aij = (−1)i+j Mji.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Доказательство. а) Вначале докажем, что A11 = M11. Обратим внимание на то, что алгебраическое дополнение A11 в (4.15) отличается от минора M11 в (4.19) только формой записи числа инверсий. Значения же их совпадают, что подтверждается следующей цепочкой равенств:

N(β2 − 1, β3 − 1, . . . , βn − 1) =

=N(β2, β3, . . . , βn) =

=N(1, β2, β3, . . . , βn).

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit