ALGEBRA

Доказательство. Каждое слагаемое определителя матрицы A будет содержать лишь один множитель вида (aik + αki ). Раскрывая скобки, группируя, получим требуемое утверждение.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Теорема 47. (общий множитель). Eсли все элементы какого-либо столбца матрицы умножить на одно и тоже число, то определитель матрицы окажется умноженным на то же число.

Геометрическая интерпретация

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Доказательство. Рассмотрим матрицы

A = (a¯1, a¯2, . . . , a¯k−1, a¯k, a¯k+1, . . . , a¯n),

A = (a¯1, a¯2, . . . , a¯k−1, βa¯k, a¯k+1, . . . , a¯n)

M1n(Rn).

Тогда, в силу (4.7), имеем

det(A ) = X(−1)saα1 1 aα2 2 . . . (β aαkk) . . . aαnn = = β X(−1)saα1 1 aα2 2 . . . aαkk . . . aαnn = β det(A).

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Теорема 48. (пропорциональные столбцы). Eсли матрица имеет два пропорциональных столбца, то определитель матрицы равен нулю.

Геометрическая интерпретация

Следует из теорем 47 и 45.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Теорема 49. Определитель матрицы не изменится, если к элементам одного из его столбцов прибавить величины, пропорциональные элементам другого столбца той же матрицы.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Доказательство. Рассмотрим матрицы

A = (a¯1, a¯2, . . . , a¯i, . . . , a¯k, . . . , a¯n) M1n(Rn), A = (a¯1, a¯2, . . . , a¯i + βa¯k, . . . , a¯k, . . . , a¯n).

и матрицу B, получаемую заменой в матрице A i - го столбца k - ым столбцом (i 6= k).

По теореме 48, det(A ) = det(A) + β det(B). Но в матрице B столбец a¯k = (a1k, a2k, . . . , ank)T входит дважды (на i - ом и k - ом местах) и

поэтому det(B) = 0, т.е. det(A ) = det(A).

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Вычисление определителя матрицы порядка n.

Пусть A = (aij) Mnn(K) .

Определение 68. Выделим элемент akm в слагаемых определителя det(A). Объединим слагаемые определителя, которые содержат этот элемент, и вынесем его за скобки выделенной группы. Величина, оставшаяся в скобках, называется алгебраическим дополнением элемента akm матрицы A и обозначается Akm.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Например,

A11 = X(−1)t a2β2 a3β3 . . . anβn, где t = N(1, β2, . . . , βn).

1 ≤ k, m ≤ n.

(4.15)

Число слагаемых в алгебраическом дополнении любого элемента матрицы равно (n − 1)!.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Теорема 50. Пусть A = (aij) Mnn(R) и матрица B получена из матрицы A перестанов-

кой двух строк (столбцов). Тогда для любого элемента матрицы A его алгебраические дополнения в матрицах A и B отличаются только знаком.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit