В силу уже доказанного в пункте a), чётность конечной перестановки по отношению к исходной перестановке изменится m+(m−1) раз, то есть (2m − 1) раз. Отсюда, в силу нечетно-
сти числа (2m − 1), следует утверждение теоремы.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Перестановки имеют прямое отношение к
определителю матрицы. Само же понятие определителя матрицы связано только с квад-
ратной матрицей.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
•Quit
•Close
•First
•Next
•Full Screen
•Prev
•Go Back
•Last
4.4.Определители квадратных матриц
Пусть À = (aij) Mnn(K) квадратная матрица порядка n. Рассмотрим произведение n элементов матрицы, взятых по одному и только по одному из каждой строки и каждого столбца
aβα11 aβα22 · · · aβαnn. |
(4.5) |
Очевидно, что (α1, α2, . . . , αn) и (β1, β2, . . . , βn)
образуют перестановки. Обозначим числа их
инверсий через s = N(α1, α2, . . . , αn) и t = N(β1, β2, . . . , βn). Отметим свойство произведений (4.5).
Теорема 40. Eсли в (4.5) поменять два сомножителя местам, то четность суммы чисел s + t не изменится.
Доказательство. До рокировки имеем s и t. После рокировки четность каждого из этих чисел изменится (см. теорему 39). В результате четность суммы s + t не изменится. 
Можно сделать следующий вывод:
число (−1)s+t не зависит от расположения сомножителей в произведении (4.5).
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Определение 67. Определителем (детерминантом) квадратной матрицы À = (aij) порядка n называется алгебраическая сумма всех возможных произведений ее элементов, взятых по одному и только по одному из каждой строки и каждого столбца, в которой каждое произведение умножается на (−1)s+t, где s и t – числа инверсий в перестановках соответственно верхних и нижних индексов сомножителей.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Детерминант матрицы обозначают и записывают согласно определению так:
|
|
a1 |
a1 |
· · · |
a1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
2 |
a |
2 |
|
|
a |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
· · · |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
det(A) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
.. . |
|
|
|
|
|
|
|
|
. . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
n |
a |
n |
|
|
a |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
· · · |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s+t |
α1 |
α2 |
· · · |
αn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= X(−1) |
aβ1 |
aβ2 |
aβn |
, |
числа aij – называют также элементами опре-
делителя матрицы, а (−1)s+taαβ11 aαβ22 · · · aαβnn
– назовем слагаемым определителя матрицы.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Составьте какое-либо слагаемое определителя матрицы:
T
Сгенерированная матрица является дополнительной клавиатурой. Нажимая клавиши дополнительной клавиатуры Вы построите слагаемое определителя без знака. При выборе элемента матрицы внизу появляется этот элемент, а также номер строки и столбца матрицы, на пересечении которых стоит выбранный элемент. Для определения знака слагаемого определителя матрицы требуется знать сумму инверсий в перестановках верхних и нижних индексов сомножителей.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Так как (−1)s+t не зависит от порядка расположения сомножителей в каждом слагаемом определителя, то их можно расположить так, чтобы перестановки верхних или нижних индексов имели нуль инверсий, то есть имели вид (1, 2, . . . , n). При этом s = 0, s + t = t и
det(A) = X( 1)taβ1 |
1 aβ2 |
2 |
· · · |
aβnn |
(4.6) |
− |
|
|
|
|
или t = 0, s + t = s и |
|
|
|
|
|
det(A) = X(−1)sa1α1 a2α2 |
· · · anαn. |
(4.7) |
Число слагаемых в определителе матрицы порядка n равно числу перестановок нижних
(верхних) индексов, т.е. n!.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Определитель матрицы второго порядка.
T
Тренажёр первого уровня выполнен в виде дополнительной клавиатуры. Частью дополнительной клавиатуры являются также кноп-
ки "умножить" и "минус". Задача студента – ввести правильную последовательность кно-
пок, соответствующую вычислению по фор-
муле (4.7). Тренажёр сделан с учётом ассоциативности операции умножения элементов определителя матрицы.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
T
Тренажёр второго уровня наглядно поясняет вычисления по формуле (4.7) при n = 2. Геометрическая интерпретация 
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
