ALGEBRA

4.3.Перестановки

Рассмотрим n чисел α1, α2, . . . , αn , где

αi {1, 2, . . . , n}, i = 1, 2, . . . , n, αi 6= αj при i 6= j.

Определение 64. Всякое расположение чисел

1, 2, . . . , n называется перестановкой.

Обозначение перестановки: (α1, α2, . . . , αn). Число возможных различных перестановок

равно Ðn = n!.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Определение 65. Выберем в перестановке два любых числа αi, αj. Eсли большее из них расположено левее меньшего, то говорят, что числа αi, αj образуют инверсию.

Например,

в перестановке (3, 2, 1, 4) пары чисел 3 − 2, 3 − 1, 2 − 1 образуют инверсии, а пары чисел 3 − 4, 2 − 4, 1 − 4 инверсии не образуют.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Число всех инверсий в перестановке

(α1, α2, . . . , αn) обозначим N(α1, α2, . . . , αn).

Тогда N(3, 2, 1, 4) = 3. Легко видеть, что

0 = N(1, 2, . . . , n) ≤ N(α1, α2, . . . , αn) ≤

N(n, n − 1, . . . , 2, 1) = n(n − 1).

2

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Определение 66. Перестановка, имеющая четное число инверсий, называется четной, и нечетной в противном случае.

Характеристику перестановки с этой стороны будем называть четностью. Четность перестановки это ее свойство быть четной или нечетной.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

T

Перестановка высвечивается на клавишах дополнительной клавиатуры. Выбранная Вами цифра окрашивается в синий цвет, числа меньше выбранного числа и стоящие справа от выбранного (окрашены в зелёный цвет) обра-

зуют инверсии с выбранным числом. Перебирая последовательно все члены перестановки

Вы найдёте общее число инверсий в перестановке.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Теорема 39. Eсли в перестановке поменять местами два числа, то четность перестановки изменится.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Доказательство. а) Меняются местами числа, стоящие рядом

. . . αk, αk+1, . . . .

При этом получим перестановку, в которой иным будет расположение только данных чисел. Eсли они в исходной перестановке образовывали инверсию, то в полученной перестановке они инверсию не образуют и наоборот.

В любом случае четность перестановки изменится.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

б) Меняются местами αk и αk+m, m > 1,

(. . . , αk, αk+1, αk+2, . . . , αk+m−2, αk+m−1, αk+m, . . .).

Вначале меняем m раз местами αk с числами, стоящими рядом справа,

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

(. . . , αk, αk+1, αk+2, . . . , αk+m−2, αk+m−1, αk+m, . . .) (. . . , αk+1, αk, αk+2, . . . , αk+m−2, αk+m−1, αk+m, . . .) (. . . , αk+1, αk+2, αk, . . . , αk+m−2, αk+m−1, αk+m, . . .) (. . . , . . . , . . . , . . . , . . . . , . . . . , . . . . , . . . . , . . . . , . . .)

(. . . , αk+1, αk+2, . . . , αk+m−2, αk+m−1, αk, αk+m, . . .) (. . . , αk+1, αk+2, . . . , αk+m−2, αk+m−1, αk+m, αk, . . .)

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

затем αk+m – (m − 1) раз меняем местами с числами, стоящими рядом слева:

(. . . , αk+1, αk+2, . . . , αk+m−2, αk+m, αk+m−1, αk, . . .) (. . . , αk+1, αk+2, . . . , αk+m, αk+m−2, αk+m−1, αk, . . .) (. . . , . . . , . . . , . . . , . . . . , . . . . , . . . . , . . . . , . . . . , . . .)

(. . . , αk+1, αk+m, αk+2, . . . , αk+m−2, αk+m−1, αk, . . .) (. . . , αk+m, αk+1, αk+2, . . . , αk+m−2, αk+m−1, αk, . . .)

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit