ALGEBRA

Умножение матрицы на число.

Произведением матрицы A = (aik) Mmn (K)

на число λ R называется матрица

B = (bik) Mmn (K), обозначают B = λA, такая что

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

T

Вы видите матрицы, которые являются дополнительной клавиатурой. Кроме того, частью дополнительной клавиатуры являются также кнопки "умножить" и "равно". Задача студента – для выбранного Вами элемента матрицы C ввести правильную последовательность

кнопок. Нахождение одного элемента демонстрируется программой. Тренажёр сделан с

учётом ассоциативности операции умножения элементов матриц на число.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

T

Тренажёр второго уровня наглядно поясняет вычисления по формуле (4.3). При этом размеры матриц и их элементы случайные целые числа. Вычисления производит компьютер, а обучаемый руководит процессом вычис-

лений. Действия обучаемого контролируются компьютером.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

T

На тренажёре третьего уровня студент уже сам должен производить вычисления. При этом ему предоставляется минимальная по-

мощь, а процесс вычислений контролируется.

На тренажёрах первого и второго уровня студент осваивает понятие умножение матрицы

на число в "чистом" виде. Работа на тренажёре третьего уровня близка к работе на бумаге,

но присутствует постоянный контроль результатов.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Проверьте самостоятельно, что определённые выше операции с матрицами удовлетворяют аксиомам 1-8 из определения 1.

Итак, на множестве Mmn (K) мы ввели линей-

ную структуру (см. пример 7). Линейное пространство матриц размера m×n с элементами

из K будем также обозначать Mmn (K).

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Определение 59. Транспонированием матрицы называется переписывание ее строк в столбцы с теми же номерами (или наоборот столбцов в строки).

Определение 60. Матрица AT = (bik)

Mnm(K) называется транспонированной мат-

рицей A = (aki ) Mmn (K), если bik = aki для

всех i = 1, 2, . . . , n и k = 1, 2, . . . , m.

Знак T – это обозначение операции транспонирования матрицы. Операция транспонирования применима к произвольной матрице

размера m × n, а результатом будет матрица

размера n × m, состоящая из тех же элементов, но по-другому расположенных.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Проверьте следующие свойства операции транспонирования:

(A + B)T = AT + BT ;

(αA)T = αAT , α R.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Пусть A = (aik) Mmn (R).

Будем обозначать i - ю строку матрицы A = (aik) через a¯i , а k - й столбец – через a¯k :

a¯i = (ai1, ai2, . . . , ain) M1n(R), a¯k = (a1k, a2k, . . . , amk )T Mm1 (R).

Тогда матрицу A Mmn (R) можно записать так:

A = (a¯1, a¯2, . . . , a¯n) M1n(Rm)

или

A = (a¯1, a¯2, . . . , a¯m)T Mm1 (Rn).

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

4.2.Произведение матриц

Пусть A = (a1, a2, . . . , an) M1n(K) и B = (b1, b2, . . . , bn)T Mn1 (K).

Определение 61. Произведением одностроч-

ной матрицы A = (a1, a2, . . . , an) M1n(K) на одностолбцовую матрицу B =

(b1, b2, . . . , bn)T Mn1 (K) называется матрица C = (c) M11(K), единственный элемент кото-

рой вычисляется по формуле :

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

(bks) Mnr (K) называется матрица C = (cis) Mmr (K), у которой элемент cis , стоящий на пе-

ресечении i - ой строки и s - го столбца равен произведению i - ой строки матрицы A на s - й столбец матрицы B (см. определение 61):

ci = n ai bk, i = 1, 2, . . . , m, s = 1, 2, . . . , r.

X

s k=1 k s

(4.4)

Операция нахождения произведения матрицы A на матрицу B называется умножением матриц и обозначается C = AB.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit