ALGEBRA
.pdf
Пусть a¯1, a¯2, . . . , a¯n произвольный базис про- |
|
странства En. Процесс ортогонализации |
|
Шмидта состоит в следующем: |
|
1. Полагают |
|
¯ |
(3.4) |
b1 = a¯1. |
|
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit |
|
2. Вычисляют |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
¯ |
|
¯ |
|
|
|
|
|
||
|
|
− |
(a¯2, b1)¯ ¯ ¯ |
|
(3.5) |
||||||
|
|
|
b2 = a¯2 |
(¯b1, ¯b1)b1, b1 b2. |
|||||||
Процесс ортогонализации Шмидта |
|
|
|||||||||
Если ~a1, ~a2 V2(π), то |
|
|
|
|
|
|
|||||
~ |
= ~a2 |
|
(~a2,~b1)~ |
= ~a2 |
|
|
~b1 |
~ ~ |
|||
b2 |
− |
~ ~ |
b1 |
|
пр~b1 ~a2 |
~ |
, b1 |
b2. |
|||
|
|
(b1, b1) |
|
|
− |
· |
|b1| |
|
|
||
|
|
|
|
•First •Prev |
•Next |
•Last •Go Back •Full Screen |
•Close •Quit |
||||
|
|
|
|
|
¯ |
¯ |
¯ |
I+1. Eсли уже построены векторы b1, b2, ..., bi, |
|||||||
то |
|
|
|
i |
|
|
|
|
¯bi+1 = a¯i+1 + |
¯bj, |
|
(3.6) |
|||
|
X λj |
|
|||||
где |
|
|
|
j=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
λj = − |
(a¯i+1, bj) |
|
|
|
|
(3.7) |
|
(¯bj, ¯bj) , |
j = 1, 2, . . . , i, |
|
||||
найдены из условия ортогональности вектора |
|||||||
¯ |
|
|
¯ |
¯ |
¯ |
|
|
bi+1 |
ко всем векторам b1, b2, . . . , bi. |
|
|
||||
|
|
•First |
•Prev |
•Next •Last |
•Go Back •Full Screen •Close •Quit |
||
Продолжая этот процесс ортогонализации, че- |
|||||
рез n шагов получим ортогональный |
базис |
||||
¯ ¯ |
¯ |
|
n |
, нормируя кото- |
|
b1, b2, . . . , bn пространства E |
|
||||
рый получим ортонормированный базис |
|
||||
|
¯ |
¯ |
¯ |
|
|
|
b1 |
b2 |
bn |
(3.8) |
|
|
|¯b1|, |
|¯b2|, · · · , |¯bn| |
|||
пространства En. |
|
|
|
|
|
|
|
•First •Prev •Next |
•Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit |
||
Пример 117. Исходя из линейно независимой |
|||
системы векторов |
|
|
|
a¯1 = (0, 0, 1), a¯2 = (1, −1, 0), a¯3 = (1, 1, −1) E3 |
|||
(см. пример 21), методом ортогонализации |
|||
Шмидта построить ортонормированный базис |
|||
пространства E3. |
|
|
|
¯ |
(3.4) |
a¯1 = (0, 0, 1). |
|
Решение. 1. Положим b1 |
= |
|
|
•First •Prev |
•Next |
•Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit |
|
|
|
¯ |
(3.5) |
a¯2 |
|
¯ |
|
2. Найдём вектор b2 |
= |
+ λ |
· b1, где |
||||
|
|
|
¯ |
|
0 |
|
|
|
λ = − |
(a¯2, b1) (3.1) |
|
|
|||
|
(¯b1, ¯b1) |
= |
− 1 |
= 0. |
|
||
¯ |
= a¯2 = (1, −1, 0). |
|
|
|
|
||
Итак b2 |
|
|
|
|
|||
|
|
•First •Prev •Next •Last |
•Go Back |
•Full Screen •Close •Quit |
|||
3. Найдём вектор |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
¯ |
(3.6) |
a¯3 + λ1 · |
¯ |
|
|
¯ |
|||||||
где |
b3 |
= |
b1 |
+ λ2 · b2, |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.7) |
|
(a¯ |
|
¯ |
) |
|
3.1) |
|
1 |
|
|||
λ |
|
3 |
, b |
( |
|
= 1, |
||||||||
1 |
= |
|
− |
|
1 |
|
= |
|
− |
− |
||||
|
|
|
(¯b1, ¯b1) |
|
|
|
1 |
|
||||||
|
|
(3.7) |
|
|
¯ |
|
|
|
|
0 |
|
|||
|
|
(a¯3, b2) (3.1) |
|
|||||||||||
|
λ2 |
= |
− (¯b2, ¯b2) |
= |
− 2 |
= 0. |
||||||||
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
¯ |
T.5 |
|
|
||
Следовательно b3 = a¯3 + b1 |
= (1, 1, 0). |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
•First •Prev |
•Next |
•Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit |
|||||||
Итак мы построили ортогональную систему |
||||||||
векторов: |
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
(3.9) |
b1 = (0, 0, 1), b2 = (1, −1, 0), b3 = (1, 1, 0), |
||||||||
причём |
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
Опр.48 |
¯ |
Опр.48 |
√ |
¯ |
|
Опр.48 √ |
2. |
|b1| |
= |
1, |b2| |
= |
2, |b3| |
= |
|||
|
|
|
•First •Prev |
•Next |
•Last |
•Go Back •Full Screen •Close •Quit |
||
4. Нормируя систему (3.9), получим ортонор- |
|||||||||||||
мированный базис пространства E3: |
|
|
|
|
|
|
|||||||
e¯1 |
= (0, 0, 1), e¯2 |
|
1 |
1 |
|
|
|
1 |
, |
1 |
|
|
|
= |
, |
− |
, 0 |
, e¯3 = |
|
|
|
|
, 0 . |
||||
|
|
|
√2 |
√2 |
|
|
√2 |
|
√2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
•First |
•Prev •Next |
•Last •Go Back |
•Full Screen |
•Close |
•Quit |
|||||
Пусть (e¯1, e¯2, . . . , e¯n) ортонормированный ба- |
зис в пространстве E. |
Тогда для любых двух векторов x,¯ y¯ E име- |
ем: |
x¯ = x1e¯1 + x2e¯2 + · · · + xne¯n, |
y¯ = y1e¯1 + y2e¯2 + · · · + yne¯n |
и |
(x,¯ y¯) = x1y1 + x2y2 + · · · + xnyn. |
Всякий базис линейного пространства Rn яв- |
ляется одновременно базисом евклидова про- |
странства En, и наоборот. |
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit |