ALGEBRA

Доказательство. Пусть

система

x¯1, x¯2, · · · , x¯k E ортогональна и

¯

x¯i 6= 0

для всех i = 1, k. Напишем равенство:

¯

(3.3)

λ1x¯1 + λ2x¯2 + · · · + λkx¯k = 0.

Умножая равенство (3.3) скалярно на любой

из векторов xi, получим, учитывая ортого-

нальность системы, что λi(x¯i, x¯i) = 0. Так как

(x¯i, x¯i) 6= 0, то λi = 0, i = 1, k.

Итак, мы показали, что равенство (3.3) воз-

можно только когда все λi равны нулю, т.е.

система линейно независима.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Eсли ортонормированная система является ба-

зисом пространства, то из этого вытекает мно-

го полезных следствий.

Определение 55. Базис, векторы которого об-

разуют ортонормированную систему, называ-

ется ортонормированным.

Теорема 38. В любом конечномерном евкли-

довом пространстве E существует орто-

нормированный базис.

Доказательство. Пусть dim E = n. Система,

состоящая из одного ненулевого вектора, ор-

тогональна. Нормируя этот вектор, получим

ортонормированную систему, состоящую из

одного вектора.

Ортонормированная система линейно незави-

сима (см. теорему 37), поэтому она не может

содержать более чем n векторов (dim E = n).

Предположим, что система

e¯1, e¯2, . . . , e¯k, 1 ≤ k ≤ n,

содержит максимальное число ортонормиро-

ванных векторов. Это означает, что в про-

странстве E не существует ни одного нену-

левого вектора, ортогонального ко всем век-

торам e¯1, e¯2, . . . , e¯k E.

Или, по-другому, если некоторый вектор ор-

тогонален ко всем векторам e¯1, e¯2, . . . , e¯k E,

то он должен быть нулевым.

Покажем, что k = n, т.е. эта система есть ба-

зис в пространстве E.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Возьмём произвольный вектор x¯ из E.

Рассмотрим вспомогательный вектор

y¯ = x¯ − (x,¯ e¯1)e¯1 − (x,¯ e¯2)e¯2 − · · · − (x,¯ e¯k)e¯k.

Так как

(y,¯ e¯i) = (x,¯ e¯i)−(x,¯ e¯i)(e¯i, e¯i) = (x,¯ e¯i)−(x,¯ e¯i) = 0

для всех i = 1, 2, . . . , k, то вектор y¯ ортого-

нален ко всем векторам e¯1, e¯2, . . . , e¯k E и,

следовательно, это нулевой вектор.

Значит

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Итак, система векторов e¯1, e¯2, . . . , e¯k E ли-

нейно независимая и x¯ E система векторов

e¯1, e¯2, . . . , e¯k, x¯ E линейно зависимая.

Значит размерность пространства E равна k,

т.е. dim E = k. Но dim E = n и, следовательно,

k = n.

Следствие 38.1. Любую ортонормированную

систему векторов e¯1, e¯2, . . . , e¯k E мож-

но дополнить до ортонормированного ба-

зиса конечномерного евклидового простран-

ства E.

явные

построения ортонормированного базиса ко-

нечномерного евклидового пространства En.

Наиболее известным является процесс орто-

гонализации Шмидта, который по линейно

независимой системе a¯

, a¯

, . . . , a¯

¯1

¯2

¯ n

тогональную систему b1, b2, . . . , bn такую, что

¯

каждый вектор bi (i = 1, 2, . . . , n) линейно вы-

ражается через a¯1, a¯2, . . . , a¯i.