ALGEBRA

Рассмотрим вектор x¯ − λy,¯ где λ – произволь-

ное вещественное число. Тогда имеем

(x¯ − λy,¯ x¯ − λy¯) = (x,¯ x¯) − 2λ(x,¯ y¯) + λ2(y,¯ y¯).

В левой части равенства стоит скалярное про-

изведение равных векторов. Поэтому квадрат-

ный трёхчлен в правой части неотрицателен

(x,¯ y¯).

Таким образом

(y,¯ y¯)

(x,¯ y¯)

(x,¯

y¯)2

(x,¯ y¯)2

(¯x, x¯) − 2(¯y, y¯)(¯x, y¯) +

откуда и вытекает

утверждение

теоремы.

Замечание.

Неравенство

было

доказано

О. Коши в 1821 г. для скалярного произве-

дения в En; В. Я. Буняковский доказал инте-

гральный аналог неравенства Коши для ска-

лярного произведения из примера 116 в 1859 г.

Следствие 36.1. Для любых двух векторов

x,¯ y¯ E справедливо неравенство

|(x,¯ y¯)| ≤ |x¯||y¯|.

•First •Prev •Next •Last •Go Back

•Full Screen •Close •Quit

Следствие 36.2. Для любых двух ненулевых

векторов x,¯ y¯ E справедливо неравенство

(x,¯ y¯)

−1 ≤ |x¯||y¯| ≤ 1.

Следствие 36.3. Для любых двух векторов

x,¯ y¯ E справедливо неравенство

x¯

y¯

x¯ + y¯ .

2 (3.2)

|x¯ − y¯|

2

= (x¯

2

− 2(x,¯ y¯) + |y¯|

≥

и

|x¯|2 − 2|x¯||y¯| + |y¯|2 = (|x¯| − |y¯|)2

|x¯ − y¯|

2

= (x¯

2

− 2(x,¯ y¯) + |y¯|

2 (3.2)

≤

|x¯|2 + 2|x¯||y¯| + |y¯|2 = (|x¯| + |y¯|)2,

Определение 51. Углом (x¯ˆy¯) между ненуле-

выми векторами

ства E называется угол, определяемый соот-

ношениями

cos(x¯ˆy¯) =

3.2.

Ортогональность

Наиболее важным отношением между векто-

рами евклидового пространства является ор-

тогональность.

Определение 52. Векторы x,¯ y¯ E называют-

ся ортогональными, если (x,¯ y¯) = 0.

Определение 53. Система векторов евкли-

дового пространства называется ортогональ-

ной, если она состоит из одного вектора, либо

её векторы попарно ортогональны.

Eсли ортогональная система состоит из нену-

левых векторов, то её можно нормировать.

Определение 54. Нормированная ортогональ-

ная система называется ортонормированной.

Интерес к ортогональным и ортонормирован-

ным системам объясняется теми преимуще-

ствами, которые они дают при исследовании

евклидовых пространств.

Теорема 37. Любая ортогональная система

ненулевых векторов евклидового простран-

ства линейно независима.