ALGEBRA

Определение 47. Линейное пространство, с

введённой на нём евклидовой структурой на-

зывается евклидовым пространством.

Пример 114. В линейном пространстве Rn

определим скалярное произведение формулой:

(3.1)

x¯ = (x1, x2, . . . , xn), y¯ = (y1, y2, . . . , yn) Rn.

Легко проверить, для определённого так ска-

лярного произведения, аксиомы 1–4. Следова-

тельно, на Rn мы ввели евклидовую структу-

ру. Полученное евклидовое пространство бу-

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Пример 115. Пусть Ln – линейное простран-

ство и (e¯1, e¯2, . . . , e¯n) некоторый базис этого

пространства. Возьмём два произвольных век-

тора x¯ и y¯ из Ln и предположим, что

x¯ = x1e¯1 + x2e¯2 + · · · + xne¯n

y¯ = y1e¯1 + y2e¯2 + · · · + yne¯n.

Eвклидову структуру на Ln введём следую-

щим образом:

(x,¯ y¯) = x1y1 + x2y2 + · · · + xnyn.

Легко видеть, что аксиомы 1 - 4 выполнены.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Заметим, что скалярное произведение в Ln

может быть введено и другими способами. На-

пример, в Ln скалярным произведением будет

и такое выражение:

(x,¯ y¯) = λ1x1y1 + λ2x2y2 + · · · + λnxnyn,

при любых фиксированных положительных

λ1, λ2, . . . , λn R. Такая неоднозначность поз-

воляет, при введении евклидовой структуры,

наиболее полно учитывать свойства конкрет-

ных линейных пространств.

Пример 116. Обозначим через C[a, b] множе-

ство функций непрерывных на сегменте [a, b].

Легко видеть, что C[a, b] есть линейное под-

пространство F[a, b]. Скалярное произведение

b

f(x)g(x)dx, f, g

C[a, b].

(f, g) = Z

a

Справедливость аксиом 1 - 4 следует из

свойств определённого интеграла.

Произвольное евклидовое пространство будем

обозначать E.

Определение 48. Нормой вектора x¯ E на-

зывается неотрицательное число, обознача-

емое

|

x¯

|

|

Определение 49. Вектор x¯ евклидового про-

странства называется нормированным, если

(x,¯ x¯) = 1.

Теорема 34. Любой ненулевой вектор y¯ E

можно нормировать, умножив его на неко-

торое число λ.

Доказательство. Из аксиом 3 и 1 определе-

ния 46 следует, что (λy,¯ λy¯) = λ2(y,¯ y¯).

1

Следовательно, если взять λ = √(y,¯ y¯), то

(λy,¯ λy¯) = 1.

Определение 50. Система векторов называ-

ется нормированной, если нормированы все

её векторы.

Теорема 35. Любую систему ненулевых век-

торов из E можно нормировать.

Теорема 36. (Неравенство Коши - Буняков-

ского). Для любых двух векторов x,¯ y¯ E

справедливо неравенство

(x,¯ y¯)2 ≤ (x,¯ x¯)(y,¯ y¯).

Доказательство. Теорема заведомо имеет ме-

¯

сто, если y¯ = 0, поэтому будем считать, что

¯

y¯ 6= 0.