Так как, в силу формулы (2.16),
[~b,~c ] = |
|
x |
2 |
y |
2 |
z |
2 |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
y3 |
z3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
z |
|
|
|
|
x |
2 |
z |
2 |
|
|
|
x |
2 |
y |
2 |
|
|
|
|
|
2 2 |
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
= ~ı |
|
|
|
|
|
~| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
z |
|
|
|
x |
3 |
z |
3 |
|
|
|
x |
3 |
y |
3 |
|
|
|
|
|
3 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
то
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
~ |
|
= |
(~a, [b,~c ]) |
|
|
y |
2 |
|
|
|
= x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
3 |
|
|
|
z |
2 |
|
|
|
|
x |
2 |
z |
2 |
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
y |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y1 |
|
|
|
|
|
|
+ z1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
3 |
|
|
|
x |
3 |
z |
3 |
|
|
|
|
|
|
x |
3 |
y |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
1 |
y |
1 |
z |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
x |
2 |
y |
2 |
z |
2 |
|
. (2.17) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
3 |
y |
3 |
z |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
T
Тренажёр выполнен в виде дополнительной клавиатуры. Дополнительными клавишами являются элементы первой строки определителя матрицы и кнопка "Копировать минор".
При вычислении определителей матриц второго порядка можно воспользоваться калькулятором.
Результаты вычислений контролируются.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
И
Инструмент позволяет вычислять смешанное произведение геометрических векторов заданных декартовыми координатами.
Первая строка матрицы – декартовы координаты первого сомножителя; вторая строка матрицы – декартовы координаты второго сомножителя;
третья строка матрицы – декартовы координаты третьего сомножителя.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
Пример 108. Геометрические векторы ~a, b,~c, образующие правую трой- |
|
|
|
|
|
~ |
| | |
|
~ |
| |
| | |
|
|
|
|
|
~ |
|
| |
|
|
|
|
|
|
|
ку (~a, b,~c ), взаимно перпендикулярны. Зная, что |
~a |
= 2, |
|
b |
|
= 5, ~c = 3, |
|
|
|
|
|
|
вычислите смешанное произведение (~a, b,~c ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 109. Геометрический вектор ~c перпендикулярен к геометриче- |
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
~ |
~ |
0 |
|
|
|
|
|
|
ским векторам ~a и b, |
а угол между векторами ~a и b равен 60 |
|
. Зная, что |
|
|
|
|
|
|
~ |
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|~a| = 5, |b| = 2, |~c| = 3, вычислите |(~a, b,~c )|. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 110. В линейном пространстве V3 фиксирован правый декартов
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
базис (~ı,~|, k) и три геометрических вектора ~a = (4, −4, 2), |
|
|
~ |
|
−2, −2) |
и ~c |
= (0, 2, 3). |
Вычислите смешанное произведение |
|
b = (−3, |
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(~a, b,~c ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример |
111. В |
линейном |
пространстве |
V3 |
фиксирована |
пра- |
|
|
вая |
декартовая |
система |
|
|
~ |
Вычислите |
объ- |
|
|
координат (O,~ı,~|, k). |
|
|
ём |
V |
тетраэдра, |
вершины |
которого |
находятся в точках |
|
|
A(−3, −3, 6), B(−9, −1, −1), C(−3, −7, 3) и |
|
|
|
|
|
D(−3, −4, 3). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 112. В линейном пространстве |
V3 фиксирована |
правая де- |
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
T |
|
Даны |
вершины |
тетраэдра |
|
|
|
|
|
картовая система координат (O,~ı,~|, k). |
|
|
|
|
|
|
A(6, 5, −1), B(5, −5, −1), C(4, 1, 0) и D(5, 5, −1). Найдите длину его вы- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
соты, опущенной из вершины A. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 113. Геометрические векторы ~a, b,~c, образующие правую тройку |
|
|
|
~ |
|
~ |
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
(~a, b,~c ), взаимно перпендикулярны. Зная, что |~a| |
= 5, |b| = 1, |~c| = 2, |
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вычислите смешанное произведение (~a, b,~c ). |
|
|
|
(Второй способ решения примера 108).
САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА Геометрические векторы (векторная алгебра).
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
3.1.Определение и примеры евклидовых
пространств
Определение 46. Говорят, что на линейном пространстве L введена евклидова структура, если определена операция скалярного произведения векторов, которая каждой паре векторов x,¯ y¯ L сопоставляет число, обозначаемое (x,¯ y¯) и называемое скалярным произведением векторов x,¯ y,¯ причём выполнены следующие аксиомы:
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
T
T
