высоте параллелепипеда, взятой со знаком
минус, если |
~ |
– |
(~a, b,~c ) |
левая тройка (точки A и D лежат по разные стороны от плоскости π см. рис. 30),
A |
|
|
~a |
h |
|
|
~ |
B |
|
b |
π |
O |
|
C |
~c |
|
|
|
|
~ |
|
|
|
d |
|
|
|
D |
|
Рис. 30 |
|
|
|
|
Итак, | ~ | · – объёму параллелепи-
(~a, [b,~c ]) = S h
педа, построенного на отложенных от произ-
вольной точки векторах ~ Теорема до-
O ~a, b,~c.
казана.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Теорема 31. Равенство нулю смешанного произведения трёх векторов есть необходимое и достаточное условие их компланарности.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Доказательство. Необходимость.
|
~ |
|
= |
0 и, |
следовательно, |
Пусть (~a, [b,~c ]) |
~ |
= |
0. |
Предположим, |
что векто- |
|(~a, [b,~c ])| |
ры некомпланарные. Тогда, |
по |
теореме 30, |
~ |
6= |
0, |
что |
противоречит условию |
|(~a, [b,~c ])| |
| ~ | Значит векторы компланарны.
(~a, [b,~c ]) = 0.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
~ |
– ком- |
Достаточность. Пусть векторы ~a, b,~c |
планарны, т.е. существует плоскость π такая,
|
~ |
|
что векторы ~a, b,~c V2(π). Обозначим через |
~ ~ |
~ |
~ |
d = [b,~c ]. Тогда d |
π и d ~a и, в силу теоре- |
мы 19, получаем |
~ |
(~a, d) = 0. |
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Алгебраические свойства смешанного произведения.
Теорема 32. |
~ |
~ |
(~a, [b,~c ]) = ([~a, b],~c ). |
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Доказательство.
Очевидно, что
~ |
T.21 |
~ |
([~a, b],~c ) |
= |
(~c, [~a, b]). |
~ |
|
~ |
Покажем, что (~a, [b,~c ]) = (~c, [~a, b]). |
~ |
|
~ |
По теореме 30, |(~a, [b,~c ])| = |(~c, [~a, b])| = V, где |
V – объём параллелепипеда построенного на отложенных от произвольной точки векторах
~ |
Так как тройки |
~ |
и |
~ |
одной |
~a, b,~c. |
(~a, b,~c ) |
(~c,~a, b) |
|
~ |
|
~ |
|
|
ориентации, то (~a, [b,~c ]) = (~c, [~a, b]). |
|
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
В силу теоремы 32, смешанное произведение
векторов |
~ |
часто обозначают |
– |
~ |
~a, b,~c |
(~a, b,~c ), |
предоставляя пользователю право выбрать какие вектора перемножить векторным образом
~ или ~
[~a, b] [b,~c ].
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Теорема |
33. |
~ |
~ |
(~a, b,~c ) |
= (b,~c,~a) |
~ |
|
~ |
~ |
−(b,~a,~c ) = −(~a,~c, b) = −(~c, b,~a).
Доказательство очевидно.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Смешанное произведение в декартовых координатах.
Пусть фиксированы правый декартовый ба-
зис ~ и три вектора ,
(~ı,~|, k) ~a = (x1, y1, z1)
~ ,
b = (x2, y2, z2) ~c = (x3, y3, z3) V3.
Найти ~
(~a, [b,~c ]).
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
