•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Т
Дополнительная клавиатура состоит из четырёх клавиш с надписями:
~ ~ ~ и "Копировать минор". i, j, k
При вычислении определителей матриц второго порядка можно воспользоваться калькулятором.
Результаты вычислений контролируются.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
π |
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 96. Угол между геометрическими векторами ~a и b равен |
3 . |
|
|
|
|
|
~ |
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Зная, что |~a| = 3, |b| = 5 |
вычислить |[~a, b]|. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 97. В линейном пространстве V3 |
фиксирован базис (~e1, ~e2, ~e3) |
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
и задан геометрический вектор ~c = [~a, b] = (2, −9, 0). Найти координаты |
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
векторного произведения [b,~a]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 98. Геометрические векторы ~a и b перпендикулярные. Зная, |
|
|
|
|
|
~ |
~ |
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
что |~a| = 3, |b| = 3 вычислить |[~a + 2b, 2~a + b]|. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 99. В линейном пространстве V3 фиксирован правый декартов
базис |
~ |
и заданы два геометрических вектора ~a = (2, 5, −2) |
и |
(~ı,~|, k) |
~ |
|
~ |
|
b = (−1, 0, 2). |
Найдите координаты векторного произведения [~a, b]. |
|
|
|
|
Пример 100. В линейном пространстве V3 фиксирован правый декартов |
базис |
~ |
и заданы два геометрических вектора ~a = (2, 5, −2) |
и |
(~ı,~|, k) |
~ −
b = ( 1, 0, 2).
Найдите координаты векторного произведения
~ ~
[3~a + 4b, b].
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 101. В линейном пространстве |
V3 |
фиксирована |
правая |
|
|
|
|
|
|
|
декартовая |
система |
|
координат |
~ |
и |
заданы |
три |
точки |
|
|
|
|
|
|
|
|
(O,~ı,~|, k) |
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
A(2, 4, 6), B(5, −1, 4) |
и |
C(2, −2, 9). |
~ |
|
|
−→ |
задаёт |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−−→ |
Направленный отрезок |
AB |
|
|
|
|
|
|
|
геометрический вектор |
~a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и BC задаёт b. Найдите координаты вектор- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ного произведения [~a, b]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 102. В линейном пространстве V3 фиксирована правая декар- |
|
|
|
|
|
|
|
товая система координат |
~ |
~ |
= (−3, 2, −4) приложена к |
|
|
|
|
|
|
|
(O,~ı,~|, k). Сила P |
|
|
T |
|
|
|
|
точке M0(4, −2, 9). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определите момент этой силы относительно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
точки A(6, −3, 4). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 103. В линейном пространстве V3 фиксирован правый декартов |
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
базис (~ı,~|, k) |
и заданы два геометрических вектора ~a = (1, 2, 1) и b = |
|
|
|
|
|
|
|
(−3, 3, 0). |
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вычислите синус угла между геометрическими векторами ~a и b. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 104. В линейном пространстве V3 фиксирована правая декарто- |
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вая система координат (O,~ı,~|, k) и заданы три точки A(9, 9, 5), B(8, 13, 0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и C(7, 11, −3). Найдите площадь треугольника 4ABC.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 105. В линейном пространстве V3 фиксирована правая декарто- |
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
вая система координат (O,~ı,~|, k) и заданы три точки A(3, 7, 5), B(5, 9, 7) |
|
|
|
|
|
|
|
и C(−1, 12, 9). Вычислите длину высоты треугольника 4ABC, опущен- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ной из вершины B на сторону AC. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 106. В линейном пространстве V3 фиксирована правая декар- |
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
товая система координат (O,~ı,~|, k). Геометрический вектор ~c перпенди- |
T
кулярный к геометрическим векторам
− и ~ − образует с базисным вектором оси
~a = (3, 1, 1) b = (2, 3, 3) Oy
тупой угол. Найдите его координаты, если известно, что |~c |2 = 242.
Пример 107. В линейном пространстве V3 фиксирована правая декарто-
вая система координат ~ Найдите координаты геометрического
(O,~ı,~|, k).
Tвектора ~x, зная, что он перпендикулярен к геометрическим векторам~
~a = (−2, −1, 3) и b = (3, 2, −2) и
удовлетворяет условию
( ~x,~c ) = 3, где ~c = (3, 2, −1).
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
2.8. Смешанное произведение векторов
Пусть заданы три вектора ~
~a, b,~c V3.
Определение 45. Смешанным произведени-
ем трех геометрических векторов ~ на-
~a, b,~c
зывается число, обозначаемое ~ рав-
(~a, [b,~c ]),
ное скалярному произведению вектора ~a на
векторное произведение векторов ~ и
b ~c.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Геометрические свойства смешанного произведения.
Теорема 30. Модуль смешанного произве-
дения | ~ | трёх некомпланарных век-
(~a, [b,~c ])
торов равен объёму параллелепипеда, построенного на отложенных от произволь-
ной точки |
O |
векторах |
~ |
~a, b,~c. При этом |
~ |
0, если тройка |
~ |
(~a, [b,~c ]) > |
(~a, b,~c ) – правая |
~ |
|
~ |
|
и (~a, [b,~c ]) < 0, |
если (~a, b,~c ) – левая. |
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Доказательство. Откладывая векторы ~ ~a, b,~c
от точки O, получим направленные отрезки
−→ −−→ −→
OA, OB, OC, соответственно. Направленные
−→ −−→ −→
отрезки OA, OB, OC возьмём за рёбра параллелепипеда. S
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
|
Построим |
плоскость |
|
|
|
|
|
π, содержащую точки |
A |
|
|
|
~a |
|
|
|
|
O, B и C (см. рис. 28). |
h |
|
|
|
~c |
|
C |
|
|
Обозначим через |
~ |
|
π |
|
O |
~ |
B |
|
d = |
|
|
~ |
|
|
|
b |
|
|
|
[b,~c ]. |
|
|
|
|
|
|
|
По определению |
век- |
|
|
|
|
|
торного произведения |
|
|
Рис. 28 |
|
|
имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
1. d π; |
|
|
|
|
|
|
2.~ ~ – правая тройка;
(b, ~c, d )
3.|~| – площади параллелограмма, лежа- d = S
щего в основании параллелепипеда на плоскости π.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
И
T
T
