Теорема 28. |
|
~ |
|
~ |
|
[λ · ~a, b] = λ · |
[~a, b], λ R. |
Доказательство. Eсли ~a |
k |
~ |
или λ = 0, то |
b |
~ |
~ |
|
~ |
|
~ |
|
|
и λ · [~a, b] = |
Пусть векторы |
[λ · ~a, b] = 0 |
0. |
|
|
|
|
|
|
~ |
неколлинеарные и λ 6= 0. Обозначим [λ ·~a, b] = |
|
~ |
~ |
~ |
|
|
~ |
~c, λ · [~a, b] = d, |
(~aˆb) = ϕ |
и (λ · ~aˆb) = φ. То- |
гда, если λ > 0, то ϕ = φ, если же λ < 0, то
φ = π − ϕ, но для всех λ 6= 0 : sin ϕ = sin φ.
Покажем, что |
|
~ |
|; |
~ |
~ |
а) |~c | = | d |
б) ~c k d; |
в) ~c ↑↑ d. |
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
|
| |
|
| |
|
| |
|
· |
|
| | |
~ |
| |
|
|
|
| |
|
| · | |
|
| | |
~ |
| |
|
|
|
~c |
= |
λ |
~a |
b |
sin φ = |
λ |
~a |
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin φ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a) |
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
| |
|
| |
| · | |
|
| | |
| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
= |
~a |
b |
sin ϕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
| ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |~c | = | d |
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
б) Откладывая от произвольной точки O век- |
торы |
~a |
b, |
−→ |
|
и ~ |
получим направленные отрезки OA |
−−→ |
соответственно. Три точки O, A, B не |
и OB, |
лежат на одной прямой и, следовательно, через них проходит единственная плоскость π.
~ |
~ |
π, |
Векторы ~a, λ·~a, b V2(π). Тогда ~c π и d |
а значит k ~ ~c d.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
в) Пусть λ > 0. Тогда |
|
|
|
~ |
↑↑ |
|
~ |
|
(~a ↑↑ λ · ~a) ([~a, b] |
[λ · ~a, b]) |
|
~ |
~ |
|
~ |
~ |
([~a, b] ↑↑ [λ · ~a, b] и |
[~a, b] ↑↑ λ · |
[~a, b]) |
|
|
~ |
~ |
~ |
([λ · ~a, b] ↑↑ λ · [~a, b]) (~c ↑↑ d). |
Пусть λ < 0. Тогда |
|
|
|
|
~ |
↑↓ |
|
~ |
|
(~a ↑↓ λ · ~a) ([~a, b] |
[λ · ~a, b]) |
|
~ |
~ |
|
~ |
~ |
([~a, b] ↑↓ [λ · ~a, b] |
и [~a, b] ↑↓ λ[~a, b]) |
~ |
|
~ |
~ |
([λ · ~a, b] ↑↑ |
λ · [~a, b]) (~c ↑↑ d). |
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Следствие 28.1. |
~ |
~ |
[~a, λ · b] = λ · [~a, b], λ R. |
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Теорема 29. |
~ |
~ |
[~a + b,~c ] = [~a,~c ] + [b,~c ]. |
Доказательство этой теоремы опустим.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Векторное произведение в декартовых координатах.
Пусть фиксированы правый декартовый базис
~ и два вектора
(~ı,~|, k)
~
~a = (x1, y1, z1), b = (x2, y2, z2) V3.
Легко показать по определению векторного произведения, что
|
~ |
~ ~ |
~ |
[~ı,~|] = k, [|,~ı] = −k, [~|, k] = ~ı, [k,~|] = −~ı, |
~ |
~ |
|
~ ~ |
[k,~ı] = ~|, [~ı, k] = ~|, [ı,~] = [~|,~|] = [k, k] = 0.
− ~
Найдём ~ :
[~a, b]
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
~ |
~ |
~ |
T.29, T.28 |
[~a, b] = [x1~ı + y1~| + z1k, x2~ı + y2~| + z2k] |
= |
|
|
~ |
|
= x1x2[ı,~ı] + x1y2[~ı,~|] + x1z2[~ı, k]+ |
|
|
~ |
|
+ y1x2[|,~ı] + y1y2[~|,~|] + y1z2[~|, k]+ |
~ |
~ |
~ ~ |
|
+ z1x2[k,~ı] + z1y2[k,~|] + z1z2[k, k] = = (y1z2 − y2z1) ·~ı − (x1z2 − x2z1) · ~| +
− · ~
+ (x1y2 x2y1) k.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Итак
~
[~a, b] =
− · − − · − ·~
= (y1z2 y2z1) ~ı (x1z2 x2z1) ~|+(x1y2 x2y1) k.
(2.16)
Для запоминания формулы (2.16) есть простой способ. Рассмотрим его.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Пусть фиксированы правый декартовый ба-
зис |
~ |
и два вектора ~a |
|
~ |
(~ı,~|, k) |
= (x1, y1, z1), b = |
(x2, y2, z2) |
|
V3. Вычислить |
~ |
Составим |
[~a, b]. |
символический определитель третьего порядка и запишем разложение его по первой строке:
|
~ı |
~| |
~k |
|
|
|
y1 |
z1 |
|
|
|
|
x1 |
z1 |
|
|
|
x1 |
y1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 |
y1 |
z1 |
|
= ~ı |
|
y |
|
z |
|
|
|
~| |
|
x |
|
z |
|
|
+ k |
|
x |
|
y |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
− |
|
|
2 |
2 |
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
x |
|
y |
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
= (y1z2 − y2z1) ·~ı − (x1z2 − x2z1) · ~| + (x1y2 − x2y1) · k. |
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
