Определение 44. Векторным произведением
|
|
~ |
двух неколлинеарных векторов ~a и b называ- |
ется третий вектор ~c, который: |
|
|
~ |
1. ортогонален каждому из векторов ~a и b; |
2. упорядоченная тройка |
~ |
(~a, b,~c ) правая; |
~ |
~ |
|
3. |~c | = |~a || b | sin(~aˆb). |
|
Векторное произведение |
двух коллинеарных |
векторов полагается, по определению, равным нулевому вектору.
Векторное |
|
|
произведение |
векто- |
ров |
~a |
и |
~ |
обозначается |
~ |
b |
[~a, b]. |
ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Напомним, что геометрический вектор однозначно определяется заданием его направления и длины. Пункты 1, 2 определения 44 задают направление вектора ~c, а пункт 3 его длину.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Геометрические свойства векторного произведения.
Теорема 25. Необходимым и достаточным условием коллинеарности двух геометрических векторов является равенство нульвектору их векторного произведения.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Доказательство. Необходимость следует из определения 44.
~ |
~ |
Достаточность. Пусть [~a, b] = 0. Eсли среди |
векторов и ~ есть нуль-вектор, то вектора
~a b ~a
и~ коллинеарные, т.к. нуль-вектор коллине- b
арен любому вектору по определению. Пусть
~ |
~ |
~ |
~ |
|~a | 6= 0 и | b | 6= 0, |
|[~a, b]| = |~a || b |
| sin(~aˆb) = 0. |
|
|
~ |
|
Отсюда следует, что (~aˆb) равен нулю или π, |
~ |
коллинеарные. |
|
т.е. векторы ~a и b |
|
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Теорема 26. Модуль векторного произведе-
ния ~ равен площади параллелограмма,
[~a, b]
построенного на отложенных от произволь-
ной точки векторах и ~ ~a b.
Доказательство. Откладывая векторы и ~ ~a b
от произвольной точки, получим два направленных отрезка, которые берём за стороны параллелограмма. По известной из школьного курса теореме, его площадь равна произведению длин сторон на синус угла между ними. 
ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Следствие 26.1. Eсли ~c0 |
|
~ |
|
орт вектора [~a, b], |
то можно записать |
|
|
~ |
· ~c0, |
[~a, b] = S |
где S – площадь параллелограмма, постро- |
енного на отложенных |
от произвольной |
~ |
|
|
точки векторах ~a и b. |
|
|
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Алгебраические свойства векторного произведения.
Теорема 27. |
~ |
~ |
|
|
|
|
[~a, b] = −[b,~a]. |
|
|
|
Доказательство. Eсли ~a |
~ |
~ |
~ |
и |
k b, |
|
то [~a, b] = 0 |
~ |
~ |
~ |
|
|
|
|
|
[b,~a] = 0. Пусть ~a и b неколлинеарные. |
|
|
|
|
~ |
~ |
~ |
Покажем, что |
|
Обозначим [~a, b] = ~c, |
[b,~a] = d. |
|
~ |
|; |
а) |~c | = | d |
~ |
|
б) ~c k d; |
|
~ |
|
в) ~c ↑↓ d. |
|
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
a) |
|
~ |
~ |
|~c | = |~a || b | sin(~aˆb) |
|
~ |
~ |
~ |
|
| d |
| = | b ||~a | sin(bˆ~a) |
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
б) Откладывая от произвольной точки O век- |
торы |
~a |
b, |
−→ |
|
и ~ |
получим направленные отрезки OA |
−−→ |
соответственно. Три точки O, A, B не |
и OB, |
лежат на одной прямой и, следовательно, через них проходит единственная плоскость π.
~ |
V2(π). |
Тогда ~c π |
~ |
π, |
а |
Векторы ~a, b |
и d |
~ |
|
|
|
|
|
значит ~c k d. |
|
|
|
|
|
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
в) По определению векторного произведения
тройки ~ и ~ ~ правые. Тогда имеем
(~a, b,~c ) (b,~a, d)
|
~ |
− правая |
(~a, b,~c ) |
~ |
~ |
− правая |
(b,~a, d) |
k ~ ~c d
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
