ALGEBRA

Общеприняты обозначения:

N - множество натуральных чисел, Z - множество целых чисел,

Q - множество рациональных чисел,

R - множество действительных (вещественных) чисел.

Очевидно, что

N Z Q R.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

На множестве действительных чисел определены операции сложения и умножения обладающие свойствами:

C1. x, y R : x + y = y + x

(Коммутативность сложения)

C2. x, y, z R : x + (y + z) = (x + y) + z

(Ассоциативность сложения)

C3. x R : x + 0 = x

(Существование нуля)

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

C4. x R y : x + y = 0

(Существование противоположного )

C5. x, y R : x · y = y · x

(Коммутативность умножения)

C6. x, y, z R : x · (y · z) = (x · y) · z

(Ассоциативность умножения)

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

C7. x R : x · 1 = 7 · x = x

(Существование единицы)

C8. x R \ {0} y : x · y = 1

(Существование обратного)

C9. x, y, z R : x · (y + z) = x · y + x · z

(Дистрибутивный закон)

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Следующие аксиомы определяют свойства порядка на множестве вещественных чисел. 10. x, y R : (либо x < y, либо x > y, либо x = y)

(упорядоченность множества R. Запись x ≤ y означает, что либо x < y либо x = y);

11. x R : x ≤ x;

(рефлексивность отношения порядка);

12.x, y R : ((x ≤ y) (y ≤ x)) = (x = y); (антисимметричность отношения порядка);

13.x, y, z R :

((x ≤ y) (y ≤ z)) = (x ≤ z);

(транзитивность отношения порядка);

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

14. x, y, z R : ((x ≤ y) = (x + z ≤ y + z);

(согласованность порядка с операцией сложения);

15. x, y, z R :

((x ≥ 0) (y ≥ z)) = (x · y ≥ x · z);

( согласованность порядка с операцией умножения);

16. x, y R n N такое, что

((x > 0) (y > 0)) = (n · x > y);

(аксиома Архимеда);

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

17. x, y R r Q такое, что

(x < y) = (x < r < y)

(плотность множества рациональных чисел во множестве вещественных чисел).

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Определение 103. Абсолютной величиной (модулем) вещественного числа a, обозначение |a|, называется неотрицательное число, равное a, если a ≥ 0, и равное −a, если a < 0.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Отметим следующие свойства модуля вещественного числа:

1.a R : |a| = max {a, −a};

2.a R : a ≤ |a|;

3.a, b R : |a + b| ≤ |a| + |b|;

- модуль суммы чисел не больше суммы их модулей;

4. a, b R : |a · b| = |a| · |b|;

- модуль произведения чисел равен произведе-

- модуль частного равен частному модулей; 6. a, b R : |a − b| ≥ ||a| − |b|| .

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Множество вещественных чисел можно дополнить символами +∞ (читается: ’Плюс бесконечность’), −∞ (читается: ’Минус бесконечность’). Операции с этими символами определяются следующим образом:

1.a R : −∞ < a < +∞;

2.a R : a + (±∞) = ±∞;

3.a R : a − (±∞) = ∞;

4.(+∞) + (+∞) = +∞;

5.(−∞) + (−∞) = −∞;

6.a (0, +∞) : a · (±∞) = ±∞;

7.a (−∞, 0) : a · (±∞) = ∞;

8.(+∞) · (−∞) = (−∞) · (+∞) = −∞;

9.(+∞) · (+∞) = (−∞) · (−∞) = +∞;

10.a R : ±∞a = 0;

11.a (0, +∞) : ±∞a = ±∞;

12.a (−∞, 0) : ±∞a = ∞.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit