ALGEBRA

Пример 247. Пусть задан линейный оператор A : Ln → Ln и A = (aji ) Mnn(R) его матрица в базисе (e¯1, e¯2, . . . , e¯n) пространства

Ln. Пусть, далее, (e¯10, e¯20, . . . , e¯n0) другой базис пространства Ln и

e¯i0 = pki0e¯k, i0 = 1, n.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Тогда элементы матрицы этого оператора в новом базисе определяются из равенств

Ae¯i0 = aji00e¯j0, i0 = 1, n.

Подставив сюда вместо e¯i0 (e¯j0) равные им величины pii0e¯i (pjj0e¯j), получим

Но

Ae¯i = aji e¯j, i = 1, n,

и, следовательно,

pii0aji e¯j = aji00pjj0e¯j, i0 = 1, n.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Так как e¯j – базисные вектора, то, в силу единственности разложения по базису, имеем

pii0aji = aji00pjj0, i0, j = 1, n.

Умножив обе части последнего равенства на qjk0 и по индексу j произведя суммирование, получим

pii0qjk0aji = aji00pjj0qjk0 = aji00δjk00 = aki00, i0 = 1, n.

Итак,

aki00 = pii0qjk0aji , i0 = 1, n,

т.е. элементы матрицы линейного оператора являются компонентами смешанного тензора второго ранга, один раз ковариантного и один раз контравариантного.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Отметим, что целесообразная расстановка индексов предназначена прямо указывать тип тензора.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Глава 14

СПРАВКА

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

14.1.Метод математической индукции

Математическая индукция - метод доказательства математических утверждений, основанный на принципе математической индукции:

утверждение p(n), зависящее от натурального параметра n, считается доказанным для всех n ≥ k0, где k0 – фиксированное натуральное число, если доказано p(k0) и для любого натурального n ≥ k0 из предположения, что верно p(n), выведено, что верно также p(n+1).

Продолжение на следующей•First •Prev •Next •страницеLast •Go Back •Full.Screen •Close •Quit

Доказательство p(k0) составляет первый шаг индукции.

Предположение, что верно утверждение p(n), n ≥ k0 составляет второй шаг индукции.

Доказательство p(n + 1) в предположении, что верно p(n), n ≥ k0, составляет третий шаг индукции и называется индукционным переходом. При этом n называется параметром индукции, а предположение p(n) при доказательстве p(n + 1) называется индукционным предположением.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Периодические функции.

Функция f : R −→ R называется периодической, если существует такое число T, (T 6= 0), что для всех x R выполняется равенство

при этом число T называют периодом функции f.

Очевидно, что если T – период функции f, то

её периодом также будет nT, где n – любое целое число.

Обычно за период T принимают наименьшее положительное число, удовлетворяющее ра-

венству (14.1).

Продолжение на следующей странице.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Отметим следующие свойства периодических функций:

1.Сумма, разность, произведение и частное периодических функций периода T есть периодические функции периода T.

2.Если функция f имеет период T, то функция g, определяемая формулой

x R : g(x) := f(ax),

периодическая с периодом Ta .

3. Если f периодическая функция периода T, то равны любые два интеграла от этой функции, взятые по промежутку длины T.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit