ALGEBRA

Аналогично определяется ковариантный тензор любого другого ранга: тензор m-го ранга

имеет не n3, а nm составляющих, и в формуле преобразования стоит не три множителя вида

pii0 , а m таких множителей.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Пример 244. Пусть задана линейная форма L(x¯) в линейном пространстве Ln. Коэф-

фициенты li линейной формы L(x¯) в базисе (e¯1, e¯2, . . . , e¯n) пространства Ln определяются

равенствами

li = L(e¯i), i = 1, n.

Пусть (e¯10, e¯20, . . . , e¯n0) другой базис пространства Ln и

e¯i0 = pki0e¯k, i0 = 1, n.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Тогда

l 0 = L(e¯ 0) = L pk0e¯k = pk0L(e¯k) =

i i i i

= pki0lk, i0 = 1, n.

Следовательно, коэффициенты li линейной

формы L(x¯) являются составляющими ковариантного тензора ранга один.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Пример 245. Пусть задана билинейная форма ϕ(x,¯ y¯) в линейном пространстве Ln. Коэффи-

циенты aij билинейной формы ϕ(x,¯ y¯) в базисе (e¯1, e¯2, . . . , e¯n) пространства Ln определяются

равенствами

aij = ϕ(e¯i, e¯j), i, j = 1, n.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Пусть (e¯10, e¯20, . . . , e¯n0) другой базис пространства Ln и

e¯i0 = pki0e¯k, i0 = 1, n.

Тогда

ai0j0 = ϕ(e¯i0, e¯j0) = ϕ(pii0e¯i, pjj0e¯j) = = pii0pjj0ϕ(e¯i, e¯j) = pii0pjj0aij, i0, j0 = 1, n.

Следовательно, коэффициенты aij билинейной

формы ϕ(x,¯ y¯) являются составляющими ковариантного тензора второго ранга.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Определение 99. Пусть имеется правило, позволяющее в каждом базисе (e¯1, e¯2, . . . , e¯n) пространства Ln построить n3 чисел T ijk. Эти числа T ijk являются составляющими контравариантного тензора 3-го ранга, если преобразование величин T ijk при переходе к новому базису (e¯10, e¯20, . . . , e¯n0) пространства Ln производится по формуле:

T i0j0k0 = qii0qjj0qkk0T ijk.

Аналогично определяется контравариантный тензор любого другого ранга.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

(e¯1, e¯2, . . . , e¯n) пространства Ln. Пусть, далее, (e¯10, e¯20, . . . , e¯n0) другой базис пространства Ln

и e¯i0 = pii0e¯i, i0 = 1, n.

Тогда x¯ = ξie¯i = ξi0e¯i0 = ξi0pii0e¯i, т.е.

ξi = ξi0pii0, i = 1, n.

Но тогда

ξi0 = qii0ξi, i0 = 1, n,

и, следовательно, координаты вектора являются составляющими контравариантного тензора первого ранга.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Введённые термины “ковариантный” и “контравариантный” объясняются очень простым образом.

“Ковариантный” означает “изменяющийся так же”, как изменяются базисные вектора, т.е. с использованием элементов pii0 матрицы P.

“Контравариантный” означает “изменяющийся в обратном направлении”, т.е. с использовани-

ем элементов qii0 матрицы Q, обратной матрице

P.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Определение 100. Пусть имеется правило, позволяющее в каждом базисе (e¯1, e¯2, . . . , e¯n) пространства Ln построить n3 чисел Tijk . Эти числа Tijk являются составляющими смешанного тензора 3-го ранга, два раза ковариантного и один раз контравариантного, если преобразование величин Tijk при переходе к новому базису (e¯10, e¯20, . . . , e¯n0) пространства Ln производится по формуле:

Tk0 00 = pi0pj0qk0T k .

i j i j k ij

Аналогично определяется смешанный тензор любого другого ранга.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Определение 101. Пусть имеется правило, позволяющее в каждом базисе (e¯1, e¯2, . . . , e¯n) пространства Ln построить n3 чисел Tkij. Эти числа Tkij являются составляющими смешанного тензора 3-го ранга, один раз ковариантного и два раза контравариантного, если преобразование величин Tkij при переходе к новому базису (e¯10, e¯20, . . . , e¯n0) пространства Ln производится по формуле:

Аналогично определяется смешанный тензор, l- раз ковариантный и m- раз контравариантный.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit