Примеры.
Пример 241. Разложение вектора x¯ Ln по базису (e¯1, e¯2, . . . , e¯n) пространства Ln :
x¯ = ξie¯i
(знак суммирования по i опущен, но подразумевается ).
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Пример 242. Выражение линейной формы L(x¯) через координаты вектора
x¯ = (ξ1, ξ2, . . . , ξn) Ln
и коэффициенты формы l1, l2, . . . , ln:
L(x¯) = liξi.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Пример 243. Результат применения оператора A : Ln → Ln к базисному вектору e¯i Ln :
Ae¯i = aji e¯j
(суммирование по индексу j).
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Координата ηj вектора Ax¯ Ln выражаются через координаты вектора
x¯ = (ξ1, ξ2, . . . , ξn) Ln
следующим образом:
ηj = aji ξi,
где A = (aji ) Mnn(R) матрица линейного оператора A (суммирование по индексу i).
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Величины, относящиеся к новой системе координат, мы будем обозначать теми же сим-
волами, но со штрихами при индексах. Так,
новые базисные векторы мы будем обозначать
через e¯10, e¯20, . . . , e¯n0 , новые координаты вектора x¯ – ξ10, ξ20, . . . , ξn0 и т.д.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Матрицу перехода от базиса (e¯1, e¯2, . . . , e¯n) пространства Ln к другому базису
(e¯10, e¯20, . . . , e¯n0) пространства Ln обозначим
через
P = (pki0) Mnn(R),
и, следовательно,
e¯i0 = pki0e¯k, i0 = 1, n.
(суммирование по индексу k). Матрицу обратного перехода обозначим
Q = (qik0) Mnn(R).
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Тогда
e¯i = qik0e¯k0, i = 1, n
(суммирование по индексу k0).
Матрица Q обратная P, что можно записать равенствами:
|
i |
0 |
|
j |
|
0 |
при j = k |
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q |
k |
p |
|
|
= |
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
при j = k |
|
|
|
|
|
|
1 |
или равенствами
i |
|
|
k |
|
|
|
при j0 |
= k0 |
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
q |
i |
|
= |
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
при j0 |
= k0 |
|
|
|
|
|
1 |
(j, k = 1, n) (13.1)
(j0, k0 = 1, n) (13.2)
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Для сокращения записи величину, зависящую от индексов i и j так, что она равна нулю при различных значениях индексов и единице при совпадающих значениях индексов, обозначают δji. Тогда равенство (13.1) можно записать в виде:
qi0pj |
= δj |
(j, k = |
|
|
), |
1, n |
k i0 |
k |
|
|
|
|
|
а равенство (13.2) – в виде |
pi |
qk0 |
= δk0 |
(j0, k0 = |
|
). |
1, n |
j0 |
i |
j0 |
|
|
|
|
|
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Тензоры разделяются на ковариантные, контравариантные и смешанные. Кроме того, каждый тензор имеет определённый ранг, который обозначается (p, q). Число p называется
контравариантной валентностью, q – ковариантной валентностью, а число (p + q) –
общей валентностью тензора. Тензоры ранга (p, 0) называют контравариантными ранга p, ранга (0, q) – ковариантными ранга q, а
остальные тензоры ранга (p, q) – смешанными p раз контравариантными и q раз ковариантными.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
Определение 98. Пусть имеется правило, позволяющее в каждом базисе (e¯1, e¯2, . . . , e¯n) пространства Ln построить n3 чисел Tijk. Эти числа Tijk являются составляющими ковариантного тензора 3-го ранга, если преобразование величин Tijk при переходе к новому базису (e¯10, e¯20, . . . , e¯n0) пространства Ln производится по формуле:
Ti0j0k0 = pii0pjj0pkk0Tijk.
•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit
