Геометрический алгоритм Монте-Карло интегрирования

Рисунок 3. Численное интегрирование функции методом Монте-Карло

Для определения площади под графиком функции можно использовать следующий стохастический алгоритм:

• ограничим функцию прямоугольником (n-мерным параллелепипедом в случае многих измерений), площадь которого можно легко вычислить;

• «набросаем» в этот прямоугольник (параллелепипед) некоторое количество точек ( штук), координаты которых будем выбирать случайным образом;

• определим число точек ( штук), которые попадут под график функции;

• площадь области, ограниченной функцией и осями координат, даётся выражением 

Для малого числа измерений интегрируемой функции производительность Монте-Карло интегрирования гораздо ниже, чем производительность детерминированных методов. Тем не менее, в некоторых случаях, когда функция задана неявно, а необходимо определить область, заданную в виде сложных неравенств, стохастический метод может оказаться более предпочтительным.

Использование выборки по значимости

При том же количестве случайных точек, точность вычислений можно увеличить, приблизив область, ограничивающую искомую функцию, к самой функции. Для этого необходимо использовать случайные величины с распределением, форма которого максимально близка к форме интегрируемой функции. На этом основан один из методов улучшения сходимости в вычислениях методом Монте-Карло: выборка по значимости.

Оптимизация

Применение в физике

Компьютерное моделирование играет в современной физике важную роль и метод Монте-Карло является одним из самых распространённых во многих областях от квантовой физики до физики твёрдого тела, физики плазмы и астрофизики.

18. Построение кривой по точкам. Интерполяционный полином Лагранжа. Эффективность данного алгоритма. Привести фрагмент программы, поясняющий данный алгоритм.

Интерполяцио́нный многочле́н Лагра́нжа — многочлен минимальной степени, принимающий данные значения в данном наборе точек. Для пар чисел , где все различны, существует единственный многочлен степени не более , для которого .

В простейшем случае () — это линейный многочлен, график которого — прямая, проходящая через две заданные точки.

Определение

Этот пример показывает интерполяционный многочлен Лагранжа для четырёх точек (-9,5), (-4,2), (-1,-2) и(7,9), а также полиномы y_i l_i(x), каждый из которых проходит через одну из выделенных точек, и принимает нулевое значение в остальных x_j

Лагранж предложил способ вычисления таких многочленов:

где базисные полиномы определяются по формуле:

обладают следующими свойствами:

• являются многочленами степени 

• 

• при 

Отсюда следует, что , как линейная комбинация , может иметь степень не больше , и , Q.E.D.

Применения

Полиномы Лагранжа используются для интерполяции, а также для численного интегрирования.

Пусть для функции известны значения в некоторых точках. Тогда мы можем интерполировать эту функцию как

В частности,

Значения интегралов от не зависят от , и их можно вычислить заранее, зная последовательность .

Случай равномерного распределения узлов интерполяции

В случае равномерного распределения узлов интерполяции выражаются через расстояние между узлами интерполяции h и начальную точку :

,

и, следовательно,

Подставив эти выражения в формулу базисного полинома и вынеся h за знаки перемножения в числителе и знаменателе, получим

Теперь можно ввести замену переменной

и получить полином от , который строится с использованием только целочисленной арифметики. Недостатком данного подхода является факториальная сложность числителя и знаменателя, что требует использования длинной арифметики.

19. Построение кривой по точкам. Интерполяционный полином Ньютона. Эффективность данного алгоритма. Привести фрагмент программы, поясняющий данный алгоритм.

Многочлен Ньютона интерполяционный – как и другие интерполяционные формулы (см. интерполяция), служит для построения многочлена n-й степени, который совпадает в (n+1) точке co значениями неизвестной искомой функции у =f(x).

Пусть  в  точках  х₀, х₁, …, х_n+1  значения  функции  у = f(x)  равны  соответственноу₀ = f(x₀), y₁ = f(x₁), …, y_n+1 = f(x_n+1).

Построим  интерполяционный многочлен Ньютона с помощью метода неопределенных коэффициентов. Для этого запишем искомый многочлен в виде P_n(x) = b₀ + b₁(x – x₀) + b₂(x – x₀)(x – x₁) + b₃(x – x₀)(x – x₁)(x – x₂) + … + b_n(x – x₀)…(x – x_n). (1)

Последовательно подставляя в формулу (1) вместо х данные значения х₀, х₁, ...,х_n+1, получим для нахождения неопределенных коэффициентов b₀, b₁, ..., b_n«треугольную» систему уравнений (при подстановке в равенство (1) вместо х числа х₀ в правой части равенства обратились в нуль все слагаемые, кроме первого: там везде был множитель (х – х₀), обратившийся  в нуль; при подстановке х = х₁ обратились в нуль все слагаемые, кроме первого и второго – они содержат множитель (х – х₁) и т.д.).

Полученную систему удобно решать: из первого её уравнения находим свободный член искомого многочлена b₀; подставив его во второе уравнение, находим коэффициент  b₁ при первой степени х в искомом многочлене: и т.д.

Для интерполяционного многочлена Ньютона можно выписать явные выражения коэффициентов через данные задачи, а также и оценки точности замены неизвестной функции f(x) этим многочленом.