1.2 Понятие вероятности. Свойства вероятностей

Понятие вероятности можно определить разными способами. Один из самых распространенных - классическое определение вероятности.

Пусть пространство состоит из n элементарных событий, и все элементарные исходы равновозможны. Обозначим m - количество элементарных событий, благоприятствующих событию A. Тогда вероятность события A есть

, (1.1)

причем .

Задача 1. Код замка автоматической камеры хранения состоит из буквы, стоящей на первом месте, и трех цифр. Какова вероятность угадать код, если для кодирования используется 10 букв и 10 цифр?

Решение. Будем считать, что никакой информации о коде у нас нет, т.е все комбинации букв и цифр равновозможны. Пространство Ω состоит из всевозможных упорядоченных наборов одной буквы и трех цифр. Количество элементов в пространстве Ω равно . Здесь используется формула для размещений с повторениями (приложение 1). Исход, благоприятный событиюА - «код угадан», только один. По формуле (1.1) .

Задача 2. Что вероятнее при бросании двух игральных костей: получить сумму очков на верхних гранях, равную восьми, или равную семи?

Решение. Пространство элементарных событий, состоящее из равновозможных исходов, есть множество всех упорядоченных пар и. Почему выбираются упорядоченные пары? Ответ становится очевидным, если представить себе, что один из кубиков (игральных костей) красный, а другой – зеленый. СобытиюА – «сумма выпавших очков равна 8» - благоприятны 5 исходов, а событию В - «сумма выпавших очков равна 7» - благоприятны 6 исходов: А = {(2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2)}, В = {(1,6), (2,5), (3,4}, (4,3), (5,2), (6,1)}. По классическому определению вероятности (1.1) вероятность получить 7 очков больше вероятности получить 8 очков:

Схема решения задачи с помощью классического определения:

1) выясните, в чем заключается опыт, и какой результат наблюдается;

2) опишите пространство Ω так, чтобы оно состояло только из равновозможных исходов;

3) найдите n – количество элементов в Ω;

4) опишите событие А: перечислите благоприятствующие ему исходы;

5) подсчитайте т – количество исходов во множестве А;

6) найдите Р(А) по формуле (1.1).

Геометрическое определение вероятности используется, если пространство элементарных событий несчетно, все исходы равновозможны, и для любого события А из Ω определена некоторая мера μ(А) (длина, площадь, объем, …). Тогда вероятность события А есть

(1.2)

Задача 3. Экспедиция двигалась по маршруту длиной 240 км и в назначенное время на конечный пункт не явилась. Известно, что третья часть маршрута проложена по горной местности и все предположения о месте задержки экспедиции равновозможны. Какова вероятность, что задержка произошла в горах?

Решение. В качестве пространства элементарных событий возьмем промежуток (0; 240), в качестве меры – длину промежутка.. Тогда мера множества А – длина маршрута по горной местности – равна

μ(А) = 80 км, и по формуле (1.2) получим =.

Задача 4. Волшебный пятак упал на квадратное поле размером 15х15 м². Какова вероятность, что мы обнаружим его на расстоянии 1 м от края поля?

Решение. Так как размеры монеты малы по сравнению с размерами участка, рассмотрим в качестве пространства Ω квадрат, в котором выделим множество точек, благоприятствующих событию А: точка, брошенная наугад в квадрат, находится на расстоянии 1 от границы квадрата (рис. 1.1). В качестве меры возьмем площадь области.. Тогда вероятность события А равна отношению площади заштрихованной части к площади всего квадрата: =.

Рисунок 1.1

Задача 5. Монета радиусом 1см бросается наугад на пол, замощенный квадратными плитками 15х15 см². Какова вероятность, что монета не накроет границу между плитками?

Решение. В отличие от предыдущей задачи размеры монеты сравнимы с размерами плитки, поэтому рассмотрим геометрическую модель в следующей формулировке: точка (центр монеты) бросается наугад в квадрат 15х15 см²; какова вероятность, что она окажется на расстоянии, большем 1 см, от границы квадрата. Задача сводится к предыдущей (рис.1.1), и вероятность Р(А)=0,75.

Задача 6. Грузовой пароход и танкер независимо друг от друга должны встать на разгрузку у одного и того же причала в течение суток. Время разгрузки каждого – 4 часа. Какова вероятность, что ни одному из них не придется ждать освобождения причала?

Решение. Пусть момент прибытия - любая точка из временнóго промежутка (0; 24). Так как суда прибывают независимо друг от друга, отметим момент прибытия каждого на своей числовой оси, обозначив х – момент прибытия парохода, у – момент прибытия танкера. Если пароход прибывает раньше танкера , то танкеру придется ожидать освобождения причала при условии, что. Если же танкер опередит пароход, то последнему придется ожидать в случае. Заштрихованное множество точек (рис. 1.2) соответствует ситуации, когда одному из судов придется ожидать окончания разгрузки другого. Применим геометрическое определение вероятности, выбрав в качестве меры площадь. Множеству А состоит из всех точек незаштрихованной части квадрата. По формуле (1.2) получимР(А)=.