1.4.2.3. Общая оценка b-деревьев

Итак, как говорилось ранее, у B-деревьев есть своя сфера примене­ния: хранение настолько больших массивов информации, что их невоз­можно целиком разместить в выделяемой оперативной памяти, но тре­буется обеспечить быстрый доступ к ним. В таких случаях B-деревья являются хорошим средством программно ускорить доступ к данным.

Ярким примером практического применения B-деревьев является файловая система NTFS, где B-деревья применяются для ускорения по­иска имен в каталогах. Если сравнить скорость поиска в этой файловой системе и в обычной FAT на примере поиска на жестком диске большо­го объема или в каталоге, содержащем очень много файлов, то можно

76

будет констатировать превосходство NTFS. Поиск файла в каталоге всегда предшествует запуску программы или открытию документа.

B-деревья обладают прекрасным качеством: во всех трех операциях над данными (поиск/удаление/добавление) они обеспечивают сложность порядка O(h), где h – глубина дерева. Это значит, что чем больше узлов в дереве и чем сильнее дерево ветвится, тем меньшую часть узлов надо будет просмотреть, чтобы найти нужный элемент. Попробуем оценить зависимость временной сложности операций T(h) от высоты дерева h.

Число элементов в вершине есть величина вероятностная с постоян­ным математическим ожиданием MK. Математическое ожидание числа вершин равно n/MK ~ n, где n – число элементов, хранимых в B-дереве. Это дает сложность T(h) ~ O(log n), а это очень хороший результат.

Поскольку вершины могут заполняться не полностью (иметь менее NumberOfItems элементов), то можно говорить о коэффициенте ис­пользования памяти. Существуют доказательства, что память будет ис­пользоваться в среднем на ln2·100% ≈ 69,3%.

В отличие от сбалансированных деревьев, которые рассматриваются далее, B-деревья растут не вниз, а вверх. Поэтому (и из-за разной струк­туры узлов) алгоритмы включения или удаления принципиально раз­личны, хотя цель их в обоих случаях одна – поддерживать сбалансиро­ванность дерева.

Идея внешнего поиска с использованием техники B-деревьев была предложена в 1970 году Р. Бэйером и Э. Мак-Крэйтом и независимо от них примерно в то же время М. Кауфманом. Естественно, что за это время было предложено ряд усовершенствований B-деревьев, связан­ных с увеличением коэффициента использования памяти и уменьшени­ем общего количества расщеплений.

Одно из таких усовершенствований было предложено Р. Бэйером и Э. Мак-Крэйтом и заключалось в следующем. Если вершина дерева пе­реполнена, то прежде чем расщеплять эту вершину, следует посмот­реть, нельзя ли «перелить» часть элементов соседям слева и справа. При использовании такой методики уменьшается общее количество рас­щеплений и увеличивается коэффициент использования памяти.

77