Глава 4. Контекстно-свободные языки

4.1. Деревья выводов

Из четырех классов грамматик иерархии Хомского класс грамматик типа 2 или контекстно-свободных грамматик (КС-грамматик) наиболее важен с точки зрения описания языков программирования, их анализа и компиляции. Напомню, что продукции КС-грамматик имеют следующий вид:

A , где A  N, ^*.

Рассмотрим язык алгебраических выражений, в котором множество терминальных символов имеет следующий вид: {a, b, (, ), +, -, *, / }, а множество правил:

S W+S,

S W-S,

S W,

W W*W,

W W/W,

W (S),

W a,

W b.

Вывод цепочки (a + b ) * (a / b – b ) в данной грамматике будет выглядеть следующим образом:

SWW*W(S)*W(W+S)*W(a+S)*W(a+W)*W(a+b)*W(a+b)*(S) (a+b)*(W-S) (a+b)*(W/W-S) (a+b)*(a/W-S) (a+b)*(a/b-S) (a+b)*(a/b-W) (a+b)*(a/b-b).

Для более наглядного описания вывода цепочки из начального символа используют деревья вывода. Дерево вывода в КС-грамматике G = (N, , P, S) – это помеченное упорядоченное дерево, каждая вершина которого помечена символом из множества Корень дерева имеет метку начального символа S. Если A X₁X₂ …X_n правило данной грамматики, участвующее в выводе, то внутренняя вершина будет помечена символом A, а ее прямые потомки – символами X₁, X₂, …X_n. Ниже приведено дерево вывода для цепочки (a + b ) * (a / b – b ).

4.2. Нормальная форма Хомского

Рассмотрим грамматику G = (N, , P, S), порождающую язык L={0ⁿ1ⁿ| n1}. Здесь множество N={S}, множество={0,1}, а множество продукций:

S 0S1

S 01

Часто требуется модифицировать данную грамматику так, чтобы порождаемый ею язык приобрел нужную структуру, не испортив самого языка. Когда необходима простая форма представления КС-языка, грамматика может быть преобразована в нормальную форму Хомского. Контекстно-свободная грамматика находится в нормальной форме Хомского (или бинарной нормальной форме), если каждое правило продукций может быть представлено одиним из следующих способов:

A BC, где A, B, C  N,

A a, где a.

Рассмотрим грамматику в нормальной форме Хомского, порождающую язык L={0ⁿ1ⁿ| n1}. Множество нетерминальных символов N={S, A, B, C}, множество терминальных символов ={0,1}, а множество продукций:

S AB

S AC

B SC

A 0

C 1

4.3. Нормальная форма Грейбах

Для каждого контекстно-свободного языка можно найти грамматику, в которой все правые части правил начинаются с терминалов. Контекстно-свободная грамматика находится в нормальной форме Грейбах, если в ней каждое правило продукций имеет вид:

A a, где A  N,  N*, a.

Рассмотрим грамматику в нормальной форме Грейбах, порождающую язык L={0ⁿ1ⁿ| n1}. Здесь множество N = {S, A }, множество = {0, 1}, а множество продукций:

S 0SA

S 0A

A 1

Построение грамматики в нормальной форме Грейбах основано на устранении левой рекурсии. Алгоритм устранение левой рекурсии приведен ниже.

Вход. КС-грамматика G = (N, , P, S).

Выход. Эквивалентная КС-грамматика G^P без левой рекурсии.

Алгоритм.

Шаг 1. Пусть N = {A₁, A₂,…, A_n}. Преобразуем G так, чтобы в правиле → цепочка  начиналась либо с терминала, либо с такого A_j, что j > i. С этой целью положим i = 1.

Шаг 2. Пусть множество A_i-правил – это A_i → А_i₁|.... .| А_i_m| β₁|...| β_p, где ни одна из цепочек β_j не начинается с A_k, если k<i. (Это всегда можно сделать.) Заменим A_i-правила правилами

A_i → β₁|...| β_p| β₁A_i¹|...| β_pA_i¹

A_i¹ → ₁|.... .| _m| ₁ A_i¹|.... .| _m A_i¹

A_i¹ – новый нетерминальный символ. Правые части всех A_i-правил начи­наются теперь с терминала или с A_k для некоторого k > i.

Шаг 3. Если i = n, полученную грамматику G^P считать резуль­татом и остановиться. В противном случае положить i = i+1 и j = 1.

Шаг 4. Заменить каждое правило вида A_i →A_j правилами A_i → β₁|...| β_m,

где A_j → β₁|...| β_m – все A_j-правила. Так как правая часть каждого A_j-правила начинается уже с терминала или с А_k для k > j, то и правая часть каждого A_i-правила будет теперь обладать этим свойством.

Шаг 5. Если j = i -1, перейти к шагу 2. В противном случае положить j = j +1 и перейти к шагу 4.

Алгоритм преобразования к нормальной форме Грейбах.

Вход. Не леворекурсивная приведенная КС-грамматика G = (N, S, P, S).

Выход. Эквивалентная грамматика G' в нормальной форме Грейбах.

Алгоритм.

Шаг 1. Построить такой линейный порядок < на N, что каждое A-правило начинается либо с терминала, либо с такого нетерминала В, что А < В. Упорядочить N ={A₁, ..., А_n} так, что A₁, А₂ < ... <А_n.

Шаг 2. Положить i = n—1.

Шаг 3. Если i = 0, перейти к шагу 5. В противном случае заменить каждое правило вида A_i →A_j, где j > i, правилами A_i → β₁|...| β_m, A_j → β₁|...| β_m – все A_j-правила. Позже мы убедимся, что каждая из цепочек β₁,..., β_m начинается терминалом.

Шаг 4. Положить i = i -1 и вернуться к шагу 3.

Шаг 5. Сейчас правая часть каждого правила (кроме, возможно, S → ε) начинается терминалом. В каждом правиле А →аХ₁.. .Х_k заменить X_j новым нетерминалом X_j` .

Шаг 6. Для новых нетерминалов X_j`, введенных на шаге 5, добавить правила X<sub>j</sub>` → X_j.