2 Основы теории графов

На практике часто бывает полезно изобразить некоторую ситуацию в виде рисунков, составленных из точек (вершин), представляющих основ-ные ситуации, и линий (ребер), соединяющих определенные пары этих вершин и представляющих связи между ними. Таким способом удобно представлять структуру системы (вершины – блоки, ребра – связи между блоками). Удобны графы при исследовании систем методом пространства состояний. В этом случае вершины – состояния системы, процесса, ребра – действия, которые могут изменить состояние. При решении оптимиза-ционных задач вершинами могут быть предполагаемые решения, ребрами – правила для их нахождения.

Такие рисунки известны под общим названием графов. Графы встре-чаются в разных областях под разными названиями: “структуры” в гражд-анском строительстве, “сети” в электротехнике, “социограммы” в социо-логии и экономике, “молекулярные структуры” в химии, и т. д.

Начало теории графов как математической дисциплины было поло-жено Эйлером в знаменитом рассуждении о Кенигсбергских мостах. Од-нако эта статья, написанная в1736 г, была единственной в течение почти ста лет. Интерес к этой науке возродился около середины ХIХ в. в связи с развитием естественных наук (исследования электрических сетей, моделей кристаллов и структур молекул), формальной логики (бинарные отноше-ния можно изучать в форме графов). Кроме того, оказалось, что многие математические головоломки могут быть сформулированы в тер-минах теории графов. Это приводило к пониманию того, что многие зада-чи такого рода содержат некоторое математическое ядро, важность кото-рого выходит за рамки конкретного вопроса. Наиболее знаменитая из них – проблема четырех красок (сформулирована Де Морганом в 1850г.).

Последние 35 – 40 лет ознаменовали новый период интенсивных раз­работок в теории графов. Появились новые области приложения: теория игр и программирование, теория передачи сообщения, электрических се­тей и контактных цепей, биология, психология.

2.1 Основные определения

2.1.1 Общие понятия

Граф G задается множеством точек (вершин) X={x₁,..x_n} и множест­вом линий (ребер) A={a₁,..,a _m}, соединяющих между собой все или часть этих точек. Таким образом, граф G полностью задается парой (X,A).

Другое, чаще употребляемое описание графа, состоит в задании множества вершин X и соответствия G, которое показывает, как между собой связаны вершины. То есть граф задается следующим образом.

Пусть дано множество X, состоящее из элементов (назовем ихвер­шинами графа) и закон G, позволяющий установить соответствие между каждым элементом x множества X и некоторыми его подмножествами G(x) тогда граф полностью определяется множеством X и соответствием G, то есть граф обозначается парой (X,G). Удобно использовать обозначе­ние G(x) по аналогии с функцией.

Пример (рис.2.1). Множество вершин X = {x₀, x₁, x₂, x₃, x₄, x₅} и соответствия между вершинами

G(x₀) = {x₁, x₂},

G(x₂) = {x₀, x₁, x₅},

G(x₃) = {x₄},

G(x₄) = {x₁, x₃},

G(x₅) = {x₂},

G(x₆) = .

Ребра графа– линии, соединяющие вершины, указывают на соот­ветствие между вершинами в графе.

Запись g(x_i, x_j) говорит, что ребро g инцидентно вершинам x_i, x_j и вершины x_i, x_j инцидентны ребру g. Две вершины x_i, x_j называются смеж­ными, если они определяют ребро графа. Два ребра графа называются смежными, если их концы имеют общую вершину.

Вершина, не инцидентная никакому ребру графа, называется изоли­рованной. Если граф состоит из изолированных вершин, его называют ноль-графом.