Шпоры 2 семестр / Коллоквиум / Коллоквиум

4. Пустьинтегрируема наи тогдаинтегрируема на.

5. Пусть (иконечны)интегрируема на,следовательно она интегрируема и на.

6.Пустьинтегрируема на(<) тогда . Док-во: По условию т.е Очевидно но отрезки разбиения для .

7.Пустьинтегрируема в наибольшем из отрезковтогда при любом взаимном расположении . Док-во: Пусть составим интегральную сумму для и отрезкасчитая т.С одной из точек деления тогда по св-ву 4-ре и , что . Рассмотрими аналогично предыдущему случаю далее получаем ;Все остальные комбинации рассматриваются аналогично.

8.Пустьнатогда,интегрируема на. Док-во очевидно ввиду не отрицательности всех слагаемых суммы.

8*.Пустьинтегрируема на,тогда .

9. Пустьинтегрируема на,тогда Док-во: Рассмотрим интегральную суммуВсе т.кпричем существует по св-ву 2.

Замечания: Условие не является обязательным. Если то рассуждения аналогичны.

10.Пусть иинтегрируемы наи,.

Док-во: Очевидно следует из того что

12)Теорема о среднем.

Пустьнепрерывна на,тогда , , ,,. Док-во: непрерывна напо теореме Вейерштрасса ,,т.е ,

13)Определенный интеграл как функция верхнего предела

Пусть интегрируема наинтегрируема нагде , .

Теорема1.Пустьинтегрируема натогда непрерывна на.

Теорема2.Пустьинтегрируема на,непрерывна в точке ,. Док-во: Рассмотрим и приращениетакое что ,.,,,на отрезке.непрерывна в точке,как только , ;.

Теорема3. Пустьнепрерывна при ,тогда, . Следовательно первообразная для . Рассмотрим любую первообразную ;. Т.к то .Следовательно при,-

14)Ф-ла Ньютона-Лейбница, где произвольная первообразная неопределенного интеграла. Пример:

15)Формула интегрирования по частям.

Пусть и непрерывна на,тогда. Док-во: первообразная для . . По теореме Ньютона-Лейбница .

Теорема (замена переменной в определенном интеграле).

Рассмотрим гденепрерывна на,где и,,,определена и непрерывна на .. Док-во: Пусть произвольная первообразная для,т.е . По теореме о производной сложной функции .. То, что последнее равенство верно следует из. Пример:.

12)Приближенные вычисления определенного интеграла (метод трапеции)

(рис.)

(рис.) . Оценка остатка где максимум второй производной, n – число отрезков.

13)Вычисление длины дуги кривой.

Пусть на плоскости задана кривая , ;и непрерывно дифференцируемы. .

Явное задание кривой:

непрерывна, дифференцируема, ..

Кривая в полярной системе координат , . ,; .

Пример1(1):Длина окружности

, .. .

Пример1(2): аналогично кроме ;

Длина дуги пространственной кривой

,, ,и непрерывно дифференцируемы на ;.

14)Объем тел вращения.

определена и непрерывна на. (рис.) (вокруг оси Ох) ,;.

16)Несобственный интеграл.

Опред: Пустьопределен . . Пример: .

Опред: то несобственный интеграл называется сходящимся. В противном случает расходящийся. Пример: При интеграл расходится, т.к . При - расходится. . При сходится.

Свойства несобственных интегралов. 1. и где , - умножение не влияет на сходимость. Док-во: сходящиися, т.е и конечен ,и конечен.

2. Пусть ,сходящиеся тогда сходящееся. Док-во: из условия и определения несобственного интеграла и конечен, и конечен; и конечен, что и означает сходимость несобственного интеграла.

3. Пусть - сходится, тогда ; Док-во: , т.к .

17)Теорема1:Пустьопределен ,,, . сходящийся, .

Теорема2 (первый признак сходимости). Пустьиположительны, .. 1)Если сходятся .

2) Еслирасходитсярасходится. Док-во: 1. Т.ки;.

2. Пустьрасходится, т.е (*), т.к . Из(*). Пример ,,, значит - сходится.

Теорема: Пусть иположительные . гдеитогдаисход или расход одновременно. Док-во: Из условия следует что,т.кприИз теоремы о первом признаке сходимости следует. 1.Еслисход тосход. 2.Если-расх торасх. Из условия теоремыАналогично предыдущему:и 3.Если расх торасх. 4.Если-сход тосход. Пример: , ,,т.к сходится то сходится.

18)Определение: Пустьинтегрируема на,Еслии конечен.

Определение: или. Пустьинтегрируема на Еслии конечен.

Пустьопределена и ограничена наинтегрируема; нанеограниченна. Если и конечен. Пример: ;.

Возможна след. ситуация:неограниченна в точкахи,тоже несобственные интегр.

Пример: Рассмотрим: .

19)Замена переменной для несобственного интеграла.

Пустьнесобств интегр. гденепрерывно дифференцируема при- монотонна при ,;.

Пример: . Iспри . II с. Значит при исходный интеграл является сходящимся!