Матричные уравнения

Любая система линейных уравнений может быть легко переписана в матричной форме: = или А=.

Умножим полученное матричное уравнение на матрицу Аслева: АА= А, откуда = А, т.е. при известной матрице А можно получить решение для произвольных значений bв векторе . Относительно привычного нам вектора отметим, что можно решать и самые общие уравнения, в которых неизвестными являются уже не векторы, а матрицы, причем не всегда квадратные: АХ=В Х= АВ; ХА=В Х= В А- здесь для получения ответа надо умножить уравнение на Асправа.

Степень и функции матриц

Для квадратных матриц целая степень матрицы определяется так же, как и для обычных чисел: А=ААА...А(n сомножителей). При этом полагается: А=Е; А=А.

В целом ряде случаев необходимо использовать отрицательную степень матрицы. Она может быть введена по правилу: А=(А).

С помощью этих формул можно решать задачи типа: если известен закон изменения f(x), то: определить f(A) - функцию от матрицы. Например, если f(x)=2x-3x+5, тоf(A)= 2A-3A+5E. Если f(x)=4x+, тоf(A)=4A+(A-2E).

Ясно, что матрица А должна быть такой, чтобы все операции имели смысл. Единичная матрица Е использована для формального преобразования обычных чисел к матричной записи. По размерности она должна соответствовать матрице А.

Понятие о проблеме собственных значений матрицы

В большом ряде моделей процессов и в задачах анализа требуются как оценка имеющегося объекта, так и сравнение между собой различных моделей. Так как матрицы - один из наиболее распространенных способов описания экономических процессов и объектов, то использование их универсальных характеристик удобно для задач эталонного сравнения. Собственные значения и векторы и представляют собой такие характеристики.

Собственным вектором квадратной матрицы А называется вектор 0, удовлетворяющий матричному уравнениюА=, где- собственное значение матрицы, соответствующее вектору.

Представим это равенство в виде

(А-Е) =0.

Чтобы это однородное матричное уравнение имело ненулевые решения , необходимо и достаточно равенство нулю определителя

D(А-Е)=0.

Это - характеристическое уравнение (степени n) для матрицы А.

Отсюда получаем сначала собственные значения , а затемсобственные векторы . Общее число этих характеристик равно порядкуn матрицы А.

Рассмотрим пример: определить собственные значения матрицы А=.

Составим: А-Е=- = ; D(А-Е) = = 0 или

(2-)(3-)-2=0, откуда получим два собственных значения:=1;=4.

Определим собственные векторы для каждого :

1. =1 =0, т.е. =0 или х+2х=0.

Собственный вектор определится с точностью до постоянного множителя с. Положим х=1, тогда х= -2 и=с.

2. =4 =0 и х+2х=0. Полагая х=1, получим х=1 и вектор =с.

Вычисленные собственные значения обычно проверяются по их свойствам:

1. Сумма собственных значений равна сумме диагональных элементов матрицы А (следу матрицы А): ++...=а+а+...+а.

2. Произведение собственных значений связано с определителем D(A) матрицы А формулой: ...=(-1)D(A).

3. Если матрица А симметрична, то ее собственные значения всегда действительны, т.е. R.

Описанное выше, в целом, представляет собой полную проблему собственных значений - определяются все идля матрицыА. В большинстве же практических задач это не нужно - итоговое заключение делается по минимальному (или максимальному) собственному значению и соответствующему ему вектору. При этом нет необходимости решать сложное характеристическое уравнение полностью - надо найти только один нужный корень. Такая задача называется частичной проблемой собственных значений. Для ее решения имеются достаточно простые и быстрые методы.