Определители Определители второго и третьего порядков

Определителем второго порядка называется число D₂, вычисляемое по формуле D₂==a₁₁a₂₂ - a₁₂a₂₁ и равное разности произведений элементов главной диагонали (a₁₁ и a₂₂) и элементов побочной диагонали (a₁₂ и a₂₁). Формально определитель записывается квадратной таблицей чисел (или функций). Вычисление определителей третьего и более высоких порядков - уже не так просто, как D₂. Так, для определителя третьего порядка D₃=, покажем два новых понятия, справедливых для определителей любого порядка:

1. Минором определителя называется определитель на единицу меньшего порядка, получаемый из данного вычеркиванием строки и столбца, содержащих элемент а_ij. Так, для D₃:

М₁₁=; М₂₃=и т.д.

2. Алгебраическим дополнением или адъюнктом Аd_ij называется произведение минора М_ij на (-1)^i+j, т.е. Аd_ij=(-1)^i+j М_ij. Здесь i – номер строки, j – номер столбца, где расположен элемент a_ij. Так, для определителя D₃:

Аd₁₁=(-1)¹⁺¹=; Аd₂₃=(-1)²⁺³= -и т.д.

После введения этих понятий, можно указать общее правило вычисления определителей: определитель n-го порядка равен сумме произведений элементов любого ряда (т.е. любых строки или столбца) на их алгебраические дополнения, т.е. разлагается по элементам строки или столбца:

D₃=а₁₁Аd₁₁+а₁₂Аd₁₂+а₁₃Аd₁₃=а₁₂Аd₁₂+а₂₂Аd₂₂+а₃₂Аd₃₂=а₃₁Аd₃₁+а₃₂Аd₃₂+а₃₃Аd₃₃=... и т.д.

Совершенно аналогично вычисляются определители 4-го и более высоких порядков. Но их миноры - уже увеличиваются до третьего и выше порядков. Это влечет за собой резкое возрастание количества арифметических операций. Поэтому на практике редко просчитываются определители порядка выше четвертого.

Отметим, что определитель первого порядка D₁ - не интересен, т.к. это - просто число: D₁==а₁₁, поэтому отдельно не рассматривается. Формально с их помощью можно записать общее выражение для D₂, но это явно не нужно.

Основные свойства определителей

Определители обладают большим рядом свойств, многие из которых, к настоящему времени, устарели и не используются в эпоху компьютеров. Приведем только те, которые удобны при практических вычислениях:

1. При транспонировании (замене строк столбцами) определитель не изменится: D₂===D, где Т - знак транспонирования.

2. При однократной перестановке двух параллельных рядов (строк или столбцов) определитель меняет знак: D₃== -.

3. Если два параллельных ряда (две строки или два столбца) определителя одинаковы, то определитель равен нулю: D₃== 0.

4. Определитель с нулевым рядом (строкой или столбцом) равен нулю:

D₂== 0.

5. Диагональный или треугольный определитель равен произведению элементов главной диагонали: D₃==а₁₁а₂₂а₃₃; D₃==а₁₁а₂₂а₃₃.

Все эти свойства легко доказываются прямым вычислением. Другие свойства определителей приводятся в учебниках, перечисленных в конце этой темы.

Определители и системы линейных уравнений

Рассмотрим систему из двух уравнений первого порядка:

a₁₁ х₁ + a₁₂ х₂ = b₁

a₂₁ х₁ + a₂₂ х₂ = b₂

Выделим из этой системы три определителя: определитель самой системы D=, определитель для первого неизвестного D₁=, определитель для второго неизвестного D₂=. Обратим внимание, что индексы у определителей для неизвестных будут теперь соответствовать номеру неизвестного в системе. Рассмотрим три возможных случая:

1. Определитель системы D0. Тогда имеем единственное решениех₁=,х₂=(формулы Крамера для двух неизвестных).

2. D=D₁=D₂=0. В этом случае система имеет бесконечное множество решений.

3. D=0, но D₁ или D₂, или оба вместе, не равны нулю. В этом случае система несовместна, т.е. не имеет никаких решений.

Совершенно аналогично строятся формулы Крамера для систем более высокого порядка. Так, для трех уравнений:

a₁₁ х₁ + a₁₂ х₂ + a₁₃ х₃ = b₁

a₂₁ х₁ + a₂₂ х₂ + a₂₃ х₃ = b₂

a₃₁ х₁ + a₃₂ х₂ + a₃₃ х₃ = b₃

D=,D₁=,D₂=,

D₃=.

Тогда, если D0, то единственное решение определится формуламих_i=(i =1, 2, 3).

Так же, как и при вычислении определителей, формулы Крамера, из-за арифметических трудностей, используются на практике для систем не выше третьего - четвертого порядков.