Функция Определение и свойства функции

Напомним известные из школьного курса понятия, которые во многом наполняются новым содержанием в высшей математике.

Если каждому элементу х из множества Х ставится в соответствие определенный элемент у множества Y, то у=f(x) называется функцией аргумента х на множестве Х.

Множество Х называется областью определения функции, а Y - областью значений функции.

Задание функции производится следующими способами:

1. Аналитическим - формулой;

2. Табличным;

3. Графическим;

4. Программой для ЭВМ;

5. Словесным (семантическим).

К основным свойствам функции относятся:

1. Функция у=f(x) называется четной, если f(-x)=f(x); нечетной, если f(-x)= -f(x); иначе - общего вида.

2. Если каждому следующему значению х в данном интервале соответствует большее (меньшее) значение у=f(x), то функция называется монотонно возрастающей (убывающей) на интервале.

3. Если функция у=f(x) на всем множестве Х не превосходит некоторого числа М>0, т.е. , то функция называетсяограниченной, иначе - неограниченной.

4. Функция у=f(x) называется периодической с периодом Т, если соблюдается равенство f(x+Т)=f(x).

5. Если любому значению х соответствует только одно числовое значение у=f(x), то функция называется непрерывной, иначе в некоторых точках функция терпит разрыв.

Классификация функций

На практике встречаются самые различные функции. Многие из них можно отнести к исторически сложившимся типам, которые мы перечислим:

1. Основные элементарные функции:

- степенная у=х^а, аR;

- показательная у=а^х, a>0, a1;

- логарифмическая у=log_ax, a>0, a1;

- тригонометрические sin x, cos x, tg x, ctg x;

- аркфункции arcsin x, arccos x, arctg x, аrcctg x.

2. Алгебраические функции:

- целая рациональная (полином) y=a₀xⁿ + a₁x^n-1 + ...+ a_n (nN; aR)

- рациональные - отношение полиномов.

- иррациональные - наличие радикалов (дробных степеней).

3. Неалгебраические (трансцендентные) функции.

К ним относятся тригонометрические, логарифмические, показательные и смешанные функции.

4. Неявные функции.

Если значение y определяется из уравнения F(x,y)=0, то функция называется неявной. Примеры: x² + y² = 25; + sin²y = 5.

5. Сложные функции.

Это функции составного типа y=f₁[f₂(x)] или более громоздкие y=f₁[f₂[f₃(x)]] и т. п. Для анализа удобно представлять их системами:

и

Например, функция y=sin²3x .

Вычисление значений функции

Если функция задана формулой, то конкретное значение y_i при любых x_i определяется подстановкой. Но при табличном задании (т. е. на дискретном множестве точек) следует использовать интерполяцию. Наиболее простой является линейная, позволяющая приближенно подсчитать значение функции в промежутке между двумя известными значениями. Чем меньше разница (по оси x) между известными значениями функции, тем точнее результат интерполяции:

Для любого x в интервале между известными точками x₀ и x₁ значение y :

у=у₀+(у₁ - у₀)

Аналогично можно определить неизвестное значение х по известному значению у (обратная задача):

х=х₀+(х₁ - х₀) .