Интегрирование функции двух переменных

Двойной интеграл введем аналогично определению геометрического смысла определенного интеграла функции одного переменного: если функция непрерывна и неотрицательна в области, тодвойным интегралом называетсяобъем прямого цилиндрического тела (цилиндроида – см. рисунок), построенного на области как на основании и ограниченного сверху поверхностью.

Заметим, что неопределенные двойные интегралы на практике не встречаются, поэтому не будем обсуждать непростое понятие первообразной, которая должна учитывать частные производные. Свойства же двойного интеграла те же, что и у однократного.

Интегрирование функции двух переменных значительно более трудная и арифметически громоздкая задача по сравнению с задачей для одной переменной. Рассмотрим наиболее распространенную на практике методику вычисления двойного интеграла сведением к повторному интегрированию.

Вэтой методике ключевым моментом является область интегрирования. Если эта область непрерывна (см. рисунок) и ее границы могут быть четко определены, то для непрерывной в этой области функциисправедливаформула

.

Таким образом, двойной интеграл сводится к последовательному вычислению двух однократных определенных интегралов (повторных интегралов). При этом внутренний интеграл имеет функциональные (или числовые) пределы интегрирования, а внешний – всегда числовые. Внутренний интеграл (по ) вычисляется в предположении, чтох – постоянная величина (полная аналогия с вычислением частных производных). Расчет производится с помощью двукратного применения обычной формулы Ньютона – Лейбница.

Заметим, что область интегрирования может быть ибесконечной в одном или в обоих направлениях осей координат. Тогда, при непрерывности функции , имеемнесобственные двойные интегралы первого рода, которые, очевидно, сводятся к несобственным повторным интегралам.

Наиболее простым будет случай , где с и d – константы, т.е. прямоугольник . Тогда

.

Для практического вычисления двойного интеграла рекомендуется следующая схема:

1. Сделать эскиз области интегрирования ,определить все функциональные и числовые границы;

2. С помощью формулы Ньютона – Лейбница вычислить внутренний интеграл (или- для прямоугольника). Ответом, как правило, будет некоторая функция одного аргумента;

3. С помощью формулы Ньютона – Лейбница вычислить внешний интеграл .

Если область интегрирования имеетсложное очертание, то рекомендуется разбить ее на сумму простых подобластей, например, . Тогда искомый интеграл будет алгебраическойсуммой интегралов по подобластям, т.е.

В заключение отметим, что двойной интеграл часто используется для вычисления площади плоских фигур. Формула для вычисления площади имеет вид

.

Литература

1. Баврин И.И. Высшая математика: учебник для вузов. М.: Владос, 2003.

2. Бугров Я.С. Высшая математика: учебник для вузов. – М.: Дрофа,2003.

3. Виленкин И.В. Высшая математика для студентов экономических, технических, естественно - научных специальностей вузов: учебник для вузов. – Ростов – на Дону: Феникс, 2004.

4. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. М.: Астрель: АСТ, 2005.

5. Высшая математика для экономистов. Под ред. Кремера Н.Ш. –М.: ЮНИТИ, 2002.

6. Ильин В.А. Высшая математика: учебник для вузов. М.: Проспект, 2005.

7. Шипачев В.С. Высшая математика: учебник для ВУЗов. – М..: Высшая школа, 2005.

50