Производные высших порядков

Так как частные производные и являются новыми функциями двух переменных, то можно найти также и их следующие частные производные, которые будут частными производными второго порядка т.е.

и .

Здесь логика вычислений очевидна. Однако обратим внимание на то, что производную можно было бы дальше дифференцировать не по своему аргументу х, а по аргументу у. Точно так же можно было бы далее дифференцировать по аргументух. Т.е. получить производные

и .

Такие производные называются смешанными частными производными второго порядка. В теории функции одного переменного ничего подобного нет.

Рассмотрим производные высших порядков на примере функции . Вычислим первые производные:

, аналогично .

Вторые частные производные:

, аналогично .

А теперь получим смешанные производные:

, аналогично .

Совпадение двух последних результатов не случайно – мы попутно доказали важную теорему: если частные производные второго порядка непрерывны в точке , то в этой точкевторые смешанные производные равны между собой и не зависят от способа их вычисления, т.е.

.

Для вычисления второй смешанной производной можно использовать любой из этих двух способов. Отметим, что производные порядка выше второго, а также дифференциалы высших порядков редко встречаются в прикладных задачах, поэтому здесь не рассматриваются.

Абсолютные экстремумы функции двух переменных

Как и в случае одной переменной, функция имеет узловые, определяющие структуру графика точки. В первую очередь это точки экстремума – минимума и максимума.

Функция имеетмаксимум (минимум) в точке , если в любой, близкой к ней точкезначения функциименьше (больше) значения.

Процедура отыскания экстремумов функции во многом подобна задаче для функции одной переменной. Сформулируемнеобходимое условие экстремума: если функция имеет экстремум в точке , то в этой точке ее первые частные производные равны нулю.

Таким образом, возможные точки экстремума (или стационарные точки) определятся из системы уравнений:

.

Так же, как и в случае функции одной переменной, если в области определения первых производных имеются точки, где производные равны бесконечности (или не существуют), то их следует включить в состав стационарных точек. Необходимое условие экстремума можно переформулировать также следующим образом: в точке минимума или максимума дифференцируемой функции градиент равен нулю.

Для определения фактического наличия экстремума и его типа необходимо применить достаточное условие. Аналог первого достаточного условия экстремума (по изменению знака производных при переходе через стационарную точку) на практике используется редко, из-за громоздкости вычислений и недостаточной наглядности. В связи с этим обычно используется аналог второго достаточного условия, который формулируется следующим образом:

Пусть функция определена в некоторой окрестности стационарной точки и имеет в этой точке непрерывные частные производные второго порядка

Здесь А, В и С – константы. Тогда:

1. если , то в точке функция имеет экстремум, причем при -максимум, при -минимум;

2. если , то в точке функция экстремума не имеет;

3. если , то в точке вопрос об экстремуме остается открытым и требуется дополнительное исследование - графическое или с применением первых частных производных (аналог первого достаточного условия).

Исследование функции двух переменных на экстремум рекомендуется проводить по следующей схеме:

1. Найти частные производные ифункции.

2. Найти стационарные точки функции.

3. Найти частные производные второго порядка, вычислить их значения в каждой стационарной точке и с помощью достаточного условия сделать вывод о наличии экстремумов.

4. Вычислить экстремумы (экстремальные значения) функции: .

З

В точке М по одному направлению функция имеет минимальное значение, по перпендикулярному к нему направлению – максимальное. Такие точки называются седловыми или точками минимакса. Седловые точки явля­ются двумерными аналогами точек перегиба функций одной переменной.

аметим, что в стационарных точках, в которых исследование устанавливает отсутствие экстремума или оставляет вопрос открытым, может действительно не быть экстремума, но вполне может быть и случай, показанный на рисунке:

Кроме того, отметим, что, так же как и в случае функции одной переменной, если задается вограниченной области D, можно ставить задачу об отыскании глобальных экстремумов. После определения всех локальных экстремумов по вышеизложенной схеме, необходимо вычислить значения функции на границе заданной области. Сравнение локальных экстремумов и граничных значений и позволяет найти наибольшее и наименьшее значения функции в заданной областиD, т.е. глобальные экстремумы.