Частные производные и дифференциалы

Дадим аргументу х приращение, аргументуу — приращение Тогда функцияz получит наращенное значение. Величина называетсяполным приращением функции в точке (х; у). Если задать только приращение аргумента х или только приращение аргумента у, то получим частные приращения функции или.

Заметим, что полное приращение функции, чаще всего, не равно сумме частных, т.е. .

После определения частных приращений понятие частной производной вводится точно так же, как и для функции одного переменного: частной производной функции нескольких переменных по одной из этих переменных называется предел отношения соответствующего частного приращения функции к приращению данной независимой переменной при стремлении последнего к нулю.

Обозначения:и аналогично – поу. Обычно используются все эти обозначения. Таким образом, для функции z=f(x, у) по определению:

Геометрический смысл частных производных функции z=f(x, у) в точке менее нагляден, чем для функции одного аргумента, но определяется точно так же. Если в данной точке поверхности провести две касательные в направлении осейх и у, то тангенсы углов наклона этих касательных (угловые коэффициенты касательных) по отношению к соответствующим осям и являются частными производными. Аналогичен и физический смысл: частная производная являетсяскоростью изменения функции z=f(x, у) в данной точке по направлению оси оХ, а - по направлению осиоY.

Все теоремы и свойства для производной первого порядка функции одной переменной, изложенные ранее в теме 7, без каких-либо изменений переносятся и на частные производные. Единственным существенным дополнением, вытекающим из определения частных производных, является то, что при дифференцировании по одному аргументу, второй, в этом процессе, считается постоянным числом.

В теме 7 дифференциал функцииy=f(x) определялся как главная, линейная относительно х, часть приращения функции, равная произведению . Аналогично, для частных производных можно определить ичастные дифференциалы и. Наконец,полным дифференциалом функции двух переменных z=f(x,у) называется сумма частных дифференциалов, т.е. .

Градиент функции двух переменных

Для анализа направления изменения функции двух переменных в пространстве весьма полезной является векторная характеристика – градиент. Градиентом (или вектор - градиентом) функции называется вектор, координатами которого являются частные производные функции:

.

Таким образом, линии уровня можно построить следующим образом. Предположим, мы начинаем с точки M₀(x₀,y₀). Построим в ней градиент. Задаем направление, перпендикулярное градиенту. Оно позволяет построить малую часть линии уровня. Далее рассмотрим близкую точку M₁(x₁,y₁) и построим градиент в ней. Продолжая этот процесс, можно (с определенной погрешностью) построить линии уровня.

Здесь  - обозначение градиента (оператор Гамильтона "набла"). Градиент функции в данной точке характеризует направление максимальной скорости изменения функции в этой точке. Зная градиент функции в нескольких точках, можно, по крайней мере, локально, строить линии уровня функции на основе следующей теоремы: пусть задана дифференцируемая функция и пусть в точкевеличина градиента отлична от нуля. Тогда градиентперпендикулярен линии уровня (точнее, касательной к линии уровня), проходящей через данную точку.

Как и в случае обычных векторов, длину (или модуль) вектора – градиента можно определить в каждой точке по формуле

Модуль градиента – величина максимальной скорости изменения функции в данной точке по направлению, показываемому вектором – градиентом.