Уравнения первого порядка с разделяющимися переменными

Уравнение называется дифференциальным уравнением первого порядка сразделяющимися переменными, если, после преобразований, его можно привести к виду

Такие уравнения решаются обычным интегрированием левой и правой частей. Пример:

.

Таким образом, уравнение свелось к вычислению обычного неопределенного интеграла. Единственным, не слишком существенным отличием, является то, что постоянная С может входить в алгебраические операции как составная часть. Полученное решение, содержащее произвольную постоянную, будет общим решением (общим интегралом) данного уравнения. Рассмотрим, как выглядят частные решения, если поставлены какие-либо дополнительные условия.

1. Пусть известно значение функции в точке х=0 (начальное условие), например, у(0)=3. Подставим в общее решение:

.

2. Пусть известно значение функции в точке х0 (граничное условие), например, у(2)=5. Подставим в общее решение:

.

Результат, в котором определено конкретное значение константы С с помощью начального или граничного условия и будет частным решением (частным интегралом) дифференциального уравнения.

Понятие о дифференциальных уравнениях второго порядка

Общая форма уравнения второго порядка . Ограничимся иллюстрацией случая, когда общее решение может быть получено последовательным интегрированием. Пример:

,

т.е., после первого интегрирования результатом будет первая производная. Проинтегрируем еще раз для получения общего решения

.

Произвольные постоянные имогут быть вычислены при наличии начальных или граничных условий.

1. Пусть в точке х=0 заданы начальные условия . Подставим в полученное общее решение:

.

Таким образом, частное решение .

2. Пусть заданы граничные условия . Подставим в то же общее решение:

.

Таким образом, частное решение .

Обратим внимание, что условия для уравнений второго порядка обладают вариабельностью: можно задавать в точке как значение функции, так и ее первой производной.

Определенный интеграл Определения

Пусть – функция, непрерывная на отрезке, а– ее первообразная, т.е.. Тогдаопределенным интегралом функцииназывается приращение ее первообразной:

.

Эта формула называется формулой Ньютона-Лейбница. Здесь а и b – соответственно нижний и верхний пределы интегрирования, причем .

Вычисление определенных интегралов с помощью формулы Ньютона-Лейбница осуществляется в два шага: на первом шаге, используя технику нахождения неопределенного интеграла, находят первообразнуюдля подынтегральной функции; на втором – применяется собственно формула Ньютона-Лейбница, т.е. вычисляется приращение первообразной, равное искомому интегралу. Легко показать, что значение произвольной постояннойС не влияет на результат, поэтому при вычислении первообразной удобно сразу принять С=0.

Пример: .

Геометрический смысл определенного интеграла состоит в том, что он численно равен площади криволинейной трапеции, образованной кривой , осьюоХ и линиями x=a и x=b, т.е.

Отметим формальную разницу между неопределенным и определенным интегралами: неопределенный интеграл – функция, определенный интеграл – число.

Свойства определенного интеграла

Все пять свойств, сформулированные в разделе 9.2 темы "Неопределенный интеграл" остаются без изменений для определенного интеграла. Но добавляются новые свойства, которые приведем здесь без доказательства.

1. Интеграл с постоянными пределами равен нулю .

2. При перестановке пределов интеграл меняет знак на противоположный

.

3. Если интервал интегрирования разбит на части, то значение интеграла на всем интервале равно сумме интегралов по каждой из составляющих частей, т.е. при любых а, b, с:

, при условии, что .

Заметим, что это свойство справедливо при любом числе частей, на которые разбивается интервал.

4. Если на интервале определены две функции и, причем, тот.е. обе части неравенства можно почленно интегрировать.