Систематическое интегрирование

Таким образом, интегрирование по сравнению с дифференцированием - дело гораздо более кропотливое, громоздкое и неоднозначное. На практике нецелесообразно каждый раз, когда встречаются интегралы, проводить громоздкие вычисления. Имеется ряд справочников, в которых в определенном порядке собраны наиболее распространенные интегралы. В частности, указанный в списке литературы справочник М.Я.Выгодского, а также различные сборники, которые, как правило, носят название "Таблицы неопределенных интегралов" или "Таблицы интегралов". Если встретившийся на практике интеграл не содержится, на первый взгляд, в "Таблицах", то с помощью описанных в этой главе методов можно упростить заданный интеграл до такого вида, что можно будет воспользоваться формулами из "Таблиц". Для этого-то и следует овладеть основными методами интегрирования.

Из основных правил дифференцирования следует, что производная произвольной элементарной функции вновь является функцией элементарной. Существенно, что операция нахождения первообразной (неопределенного интеграла) таким свойством не обладает, т.е. существуют элементарные функции, первообразные которых элементарными функциями уже не являются. По этой причине соответствующие неопределенные интегралы называются "неберущимися" в элементарных функциях, а сами функции - не интегрируемыми в конечном виде. Например, , , ,и многие другие – "неберущиеся", т.е. несуществует такой элементарной функции , чтои т.д.

Все методы интегрирования, рассмотренные выше и применяемые для нахождения интегралов от элементарных функций, вновь приводят к элементарным функциям. Поэтому указанные "неберущиеся" интегралы, по крайней мере, не могут быть взяты с помощью описанных здесь методов. Однако это не означает, что эти интегралы не существуют или их нельзя найти.

Понятие о дифференциальных уравнениях

Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее искомую функцию, аргумент и производные различных порядков данной функции.

Простой пример дифференциального уравнения дает задача о нахождении первообразной F(x) для заданной функции f(x), т.к. ее вполне можно рассматривать как задачу о нахождении функции F(x), удовлетворяющей уравнению F'(x)=f(x).

В общем случае дифференциальное уравнение можно записать в виде

,

где G — некоторая функция, при этом порядок n старшей производной, входящей в запись уравнения, называется порядком дифференциального уравнения. Например, задача о нахождении первообразной приводит к дифференциальному уравнению первого порядка, уравнение - второго порядка и т.п.

Дифференциальное уравнение называется разрешенным относительно старшей производной, если оно имеет вид

где Н— некоторая функция.

Решением (или интегралом) дифференциального уравнения называется такая функция у=f(х), которая при подстановке ее в это уравнение обращает его в тождество. Например, функция y=sin x является решением уравнения у "+у=0, так как (sin x)"+ sin x=0 для любых x.

Задача о нахождении решения дифференциального уравнения называется задачей интегрирования данного дифференциального уравнения. График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.

Отметим, что без дополнительных предположений решение дифференциального уравнения принципиально неоднозначно, т.е., аналогично неопределенному интегралу, содержит постоянные константы С_i, число которых равно порядку уравнения. Такое решение называется общим решением дифференциального уравнения. Для определения этих постоянных и получения однозначного частного решения используются дополнительные условия, которые задают значения решения либо в точке х=0 (начальные условия), либо в точках х0 (граничные условия).

В нашем курсе ограничимся изучением дифференциальных уравнений первого порядка (или) и простейших уравнений второго порядка.