Неопределенный интеграл Первообразная функция и неопределенный интеграл

Основной задачей дифференциального исчисления является нахождение производной или дифференциала данной функции. Интегральное исчисление решает обратную задачу - нахождение самой функции по ее производной или дифференциалу.

Определение. Функция F(x) называется первообразной функцией для функции f(x), если F'(x)=f(x). Например, F(x)=x² является первообразной для функции f(x)=2x, так как F'(x)=(x²)'=2x.

Следует отметить, что для заданной функции f(x) ее первообразная определена неоднозначно. Дифференцируя, можно убедиться, что функции x²+1, x²-5 и вообще x²+С , где С - произвольное число, являются первообразными для функции f(x)=2x.

Определение. Совокупность всех первообразных для функции f(x) называется неопределенным интегралом от функции f(x) и обозначается , где - знак интеграла,f(x) - подынтегральная функция, f(x)dx — подынтегральное выражение. Таким образом,

,

где F(x) - некоторая первообразная для f(x), С - произвольная постоянная.

Операция нахождения неопределенного интеграла от некоторой функции называется интегрированием этой функции.

Отметим, что в практических задачах встречаются случаи, когда значение произвольной постоянной можно определить точно. Например, найдем , если заранее известно, чтоF(2)=0. Здесь имеем: . Тогдаи. Таким образом, частное выражение для первообразной запишется в виде.

Свойства неопределенного интеграла

Приведем, без доказательства, основные свойства неопределенного интеграла:

1. Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, т.е.

2. Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, т.е.

.

3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции с точностью до постоянного слагаемого, т.е.

.

Сравнивая между собой свойства 2 и 3, можно сказать, что операции нахождения неопределенного интеграла и дифференциала взаимно обратны (знаки d и интеграла взаимно уничтожают друг друга, в случае свойства 3, хотя и с точностью до постоянного слагаемого).

4. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т.е.

,

где а – число, не равное нулю.

5. Интеграл от алгебраической суммы двух функций равен сумме интегралов от этих функций, т.е.

.

Свойство 5 является справедливым для любого конечного числа слагаемых.

Интегралы от основных элементарных функций

На основе обращения известных табличных производных и добавления первообразных для ряда часто встречающихся функций, в практике решения задач постоянно используются интегралы от элементарных функций, которые в дальнейшем мы будем называть табличными:

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.

Справедливость приведенных формул проверяется непосредственно дифференцированием. Заметим, что к этой таблице в процессе решения задач удобно добавлять часто встречающиеся формулы, т.е. создать индивидуальную таблицу интегралов в зависимости от профессиональных интересов.